Propriétés de la somme d'une série entière à l'intérieur du disque de convergence

Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière de rayon de convergence \(R\) non nul. Alors la série entière \(\sum na_nz^{n-1}\) a même rayon de convergence \(R\).

Soit \(R'\) le rayon de convergence de la série entière \(\sum na_nz^{n-1}\). Nous allons montrer successivement que les inégalités \(R < R'\) et \(R' < R\) sont impossibles.

Détail de la preuve :

Supposons \(R < R'\).

Il existe alors \(z_0\in C\) tel que \(R<|z_0|<R'\). La série \(\sum na_nz^n_0\) est absolument convergente et les inégalités, pour tout entier \(n\) non nul : \(|a_nz_0^n|\leq n|a_nz_0^{n-1}||z_0|\) entraînent la convergence absolue de la série \(\sum a_nz^n_0\). D'où la contradiction, on a donc \(R'\leq R\).

Supposons \(R' < R\).

Il existe alors un réel \(\rho\) vérifiant \(R'<\rho< R\) et un point \(z_0\in C\) vérifiant \(R'<|z_0|<\rho < R\).

L'inégalité \(\rho<R\) entraîne que la suite \((a_n\rho^n) \)est bornée. Il existe donc un réel \(M\), tel que, pour tout entier \(n\), on ait : \(|a_n|\rho^n\leq M\).

On en déduit : \(n|a_nz_0^n|=n|a_n|\rho^n\left(\frac{|z_0|}{\rho}\right)^n\leq nM\theta^n\). Le terme \(nM\theta^n\)est le terme général d'une série convergente. D'après le théorème de comparaison, la série de terme général \(n|a_n||z_0^n|\) est convergente ainsi que la série de terme général \(n|a_n||z_0^{n-1}|\). D'où la contradiction.

On a donc \(R = R'\).

Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière de rayon de convergence \(R\) non nul. On note encore \(S\) la restriction à l'intervalle \(]-R,R[\) de la somme de la série entière, c'est-à-dire la fonction définie sur \(]-R,R[\) par \(S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\).

La fonction \(S\) est dérivable sur \(]-R,R[\) et, pour tout \(x\) de \(]-R,R[\), \(S'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}\).

Compte tenu du théorème précédent, c'est l'application directe du théorème de dérivation des séries de fonctions.

Détail de la preuve :

D'après le théorème précédent, la série entière \(\sum na_nx^{n-1}\) est uniformément convergente sur tout intervalle \(]-\rho,\rho[\), avec \(0<\rho<R\) et la série entière \(\sum a_n x^n\) est simplement convergente sur l'intervalle \(]-R,R[\). La fonction \(S\) est donc dérivable sur l'intervalle \(]-R,R[\) et on a \(S'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}\).

La somme \(S\) d'une série entière \(\sum a_n x^n\) de rayon de convergence \(R\) non nul est de classe \(C^\infty\) sur l'intervalle \(]-R,R[\) et, pour tout entier \(p\), et tout \(x\) de \(]-R,R[\), on a :

\(S^{(p)}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+p)!}{n!}a_{n+p}x^n\).

Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R\) non nul. La somme de la série entière, c'est-à-dire la fonction définie sur \(]-R,R[\) par \(S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\), admet pour primitives sur \(]-R,R[\) l'ensemble des fonctions \(x\mapsto k+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\), \((k\in R)\).