Développements en série entière : méthodes et développements classiques

La fonction exponentielle est de classe \(C^{\infty}\) sur \(R\). Sa série de Taylor en 0 est la série entière \(\sum \frac{x^n}{n!}\)dont le rayon de convergence est infini. Pour tout \(n\) entier et tout \(x\) réel vérifiant \(|x|\leq r\), on a : \(0<\frac{d^n}{dx^n}(e^x)=e^x\leq e^r\).

L'application de la condition suffisante précédente permet d'écrire : \(\forall x\in R, e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\).

On a déjà rencontré plusieurs fois cette expression, qu'on peut obtenir en appliquant la formule de Taylor-Lagrange à la fonction exponentielle sur l'intervalle \([0,x]\) ou \([x,0]\).

On déduit immédiatement du développement en série entière de l'exponentielle, le développement en série entière des fonctions sinus et cosinus hyperboliques, par exemple en les considérant comme la partie paire et la partie impaire de cette dernière :

\(\forall x \in R, chx=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \textrm{ et }shx=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)

On peut également établir ces formules en calculant la série de Taylor de ces fonctions et en utilisant la condition suffisante évoquée plus haut.

Les fonctions sinus et cosinus sont de classe \(C^{\infty}\) sur \(R\). Leur série de Taylor a un rayon de convergence infini et leurs dérivées sont bornées en valeur absolue par 1 sur \(R\). Elles sont donc développables en série entière et on a :

\(\forall x \in R, \cos{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \textrm{ et }\sin{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)