Dérivation et intégration terme à terme
Dans certains cas, il peut être plus facile de déterminer, non pas le développement de la fonction, mais celui de sa dérivée ou d'une primitive. On déduit alors le développement de la fonction en intégrant ou en dérivant terme à terme le développement trouvé à l'intérieur de l'intervalle de convergence. C'est le cas pour des fonctions comme ou dont la dérivée est rationnelle.
a. La fonction \(x\mapsto \ln{(1+x)}\) définie sur \(]-1,+\infty[\) vérifie : \(\forall x\in ]-1,1[, \ln{(1+x)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\).
Preuve :
La fonction \(x\mapsto \ln{(1+x)}\), vérifie pour \(x > -1\), \(\frac{d}{dx}(\ln{(1+x)})=\frac{1}{1+x}\).
Cet exemple a été étudié précédemment. On a : \(\forall x\in]-1,1[, \ln{(1+x)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\)
La série étant encore convergente, en raison du théorème des séries alternées pour \(x = 1\), l'égalité est donc vraie sur l'intervalle \(]-1,1]\).
b. La fonction arctan définie sur \([-1,1]\) vérifie : \(\forall x\in [-1,1], \arctan{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\).
Preuve :
La fonction \(\arctan{}\) vérifie, pour tout \(x\) réel \(\frac{d}{dx}(\arctan{x})=\frac{1}{1+x^2}\).
On a, pour tout \(x\) réel vérifiant \(|x|<1, \frac{1}{1+x^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}\).
On en déduit : \(\forall x\in ]-1,1[, \arctan{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\).
La série est encore convergente, en application du théorème des séries alternées pour \(x=1\) et \(x=-1\). En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, on peut montrer que l'égalité est vraie sur l'intervalle \([-1,1]\).