Exercice 1
Partie
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence 1. Pour \(z\in D(0,1)\), on note \(f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\). Pour tout \(n\) entier on pose :
\(s_n=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\) et \(t_n=\frac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\).
Question
Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum s_nz^n\) et calculer sa somme.
Solution détaillée
La série entière \(\sum s_nz^n\) est le produit des séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum z^n\). Ces deux séries entières ayant comme rayon de convergence 1, le rayon \(R\) de la série entière \(\sum s_nz^n\) vérifie \(R\geq 1\).
Par ailleurs, on a \(a_0=s_0\) et \(\forall n\geq 1, a_n=s_n-s_{n-1}\). On en déduit que, pour tout \(z\) appartenant au disque unité ouvert, on a
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}s_nz^n-z\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}s_nz^n\right)\).
Donc si \(z\) appartient au disque \(D(0,R)\), la série \(\sum a_nz^n\) est convergente et donc \(R\leq 1\).
On en déduit \(R = 1\).
Calcul de la somme
Dans le disque unité ouvert, on a : \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}s_nz^n=\frac{f(z)}{1-z}\).
Question
Déterminer le rayon de convergence de la série entière \(\sum t_nz^n\).
Solution détaillée
La série entière \(\sum t_nz^n\) a même rayon de convergence que la série entière \(\sum t_nz^{n+1}\). La série entière \(\sum t_nz^{n+1}\) est la série entière obtenue en intégrant terme à terme la série \(\sum s_nz^n\) dont le rayon de convergence est 1. Le rayon de convergence de la série \(\sum t_nz^{n+1}\) est donc 1 et la série \(\sum t_nz^n\) a comme rayon de convergence 1.