Étude de séries entières

On étudie, pour \(z\) fixé non nul, la série de terme général \(u_n(z)=\frac{z^{3n}}{(3n)!}\). On peut alors appliquer la règle de d'Alembert. On a en effet : \(\left|\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}\right|=\frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}|z|^3\).

On en déduit : \(\forall z\in C^*, \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left|\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}\right|=0\). Le rayon de convergence de la série entière \(\sum\frac{z^{3n}}{(3n)!}\) est donc infini.

On pose, pour tout \(x\) réel, \(F(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}\). On peut dériver terme à terme. On obtient successivement : \(F'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}\), \(F''(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}\),\(F'''(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}=F(x)\).

La fonction \(F\) est solution de l'équation différentielle et homogène à coefficients constants du troisième ordre \(y'''=y\). Plus précisément, c'est l'unique solution de cette équation différentielle, qui vérifie les conditions initiales : \(y(0)=1\), \(y'(0)=y''(0)=0\).

On cherche des solutions sous la forme \(x\mapsto e^{mx}\), l'équation caractéristique est \(m^3=1\). Les racines de l'équation caractéristique sont les nombres \(1, j, j^2\). La solution générale, sous forme complexe, est \(y(x)=Ae^x+Be^{jx}+Ce^{j^2x}\). Les conditions \(y(0)=1\), \(y'(0)=y''(0)=0\) imposent : \(A+B+C=1\), \(A+Bj+Cj^2=0\), \(A+Bj^2+Cj=0\). On obtient comme solution pour le triplet \((A,B,C)=\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)\).

Sous forme complexe, la solution s'écrit : \(x\mapsto \frac13(e^x+e^{jx}+e^{j^2x})\), et finalement sous forme réelle : \(F(x)=\frac13\left(e^x+2e^{-\frac x2}\cos{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)}\right)\).