Suites de fonctions

\((f_{n}) \overset{\textrm{CVU}}{\underset{I}{\rightarrow}} f\)

\((f_{n}) \overset{\textrm{CVU}}{\underset{I}{\nrightarrow}} f\)

1. On calcule \(M_{n} = \underset{I}{\textrm{sup}} \{|f_{n}(x) - f(x)|\}\) et \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} M_{n} = 0\) ;

2. On trouve une suite (\(m_{n}\)) indépendante de \(x\) telle que :

   • pour tout \(x\) de \(I\), \(|f_{n}(x) - f(x)| \leq m_{n}\),

   • \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} m_{n} = 0\) ;

3. On se sert du théorème de dérivation : si la suite (\(f_{n}\)) converge en un point \(x_{0}\) de \(I\) et si la suite (\(f'{n}\)) converge uniformément sur \(I\), alors la suite (\(f_{n}\)) converge uniformément sur \(I\).

1. \(M_{n} = \underset{I}{\textrm{sup}}\{|f_{n}(x) - f(x)|\}\) n'existe pas ou n'admet pas de limite lorsque n tend vers \(+\infty\) ou sa limite est non nulle ;

2. Il existe une suite (\(x_{n}\)) de points de \(I\) telle que la suite \(\left( | f_{n}(x_{n}) - f(x_{n})|\right)\) n'admette pas de limite ou admette une limite non nulle lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ;

3. Toutes les fonctions \(f_{n}\) sont continues sur \(I\) et \(f\) n'est pas continue sur \(I\) ;

4. \(I\) étant un intervalle \(]a, b[\) et \(\underset{x \rightarrow a}{\textrm{lim}} f_{n}(x) = \alpha_{n}\)

   • \(\underset{x \rightarrow a}{\textrm{lim}}~~f(x)\) n'existe pas,

     OU

   • \(\underset{x \rightarrow a}{\textrm{lim}}~~\alpha n\) n'existe pas,

     OU

   • \(\underset{x \rightarrow a}{\textrm{lim}} f(x) \neq \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \alpha_{ni}\) ;

5. \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( \int_{I}~~f_{n}(t)~ \textrm{dt}\right)\) n'existe pas

   OU

   \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \left( \int_{I}~~f_{n}(t) ~\textrm{dt}\right) \neq \int_{I}~~f(t) ~\textrm{dt}\).