Séries de fonctions

\(\zeta\) est définie par \(\left\{ \begin{array}{l c l}\zeta (x) = x & \textrm{sur} & \left[0, \frac{1}{2}\right] \\ \\ \zeta(x) = 1 - x&\textrm{sur} & \left]\frac{1}{2}, 1\right[ \end{array} \right.\) et l'on complète par périodicité sur \(\mathbb{R}\).

Ensuite, on pose \(g(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~\frac{1}{4^{n}}~\zeta~(4^{n} x)\). La convergence est normale sur \(\mathbb{R}\), donc uniforme sur \(\mathbb{R}\) et, comme les fonctions \(x \longmapsto \frac{1}{4^{n}}~\zeta~( 4^{n} x )\) sont continues sur \(\mathbb{R}\), alors \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Mais \(g\) n'est dérivable en aucun point de \(\mathbb{R}\).