Exercice 22

Partie

Question

Pour tout \(n \geq 1\) et pour tout \(x > 0\), on pose \(u_{n}(x) = \frac{1}{2^{nx}}\) et \(v_{n}(x) = -n \frac{\ln{(2)}}{2^{nx}}\).

Quelle relation existe-t-il entre les séries de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} u_{n} \right)\) et \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} v_{n} \right)\)?

En déduire la somme de la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{n}{2^{nx}}\right)\).

Aide simple

Remarquer que \(u'_{n}(x) = v_{n}(x)\).

Solution détaillée

Appliquons le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions à la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} u_{n} \right)\).

La série converge simplement sur \(]0,+\infty[\) vers la fonction \(S : x \longmapsto \frac{2^{x}}{2^{x} - 1}\) (voir exercice 6) mais elle ne converge pas uniformément sur cet intervalle (voir exercice 14).

En revanche, on a prouvé (voir exercice 14) qu'elle convergeait uniformément sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a > 0\). Donc, elle converge uniformément sur tout fermé borné \([a, b]\), \(0 < a < b\).

En résumé, nous avons :

  1. Les fonctions \(u_{n}\), \(n \geq 1\), sont dérivables sur tout intervalle \([a, b]\) \((0 < a < b )\) et \(u'_{n}(x) = v_{n}(x)\) pour \(n \geq 1\);

  2. Il existe \(x_{0} \in [a,b]\) où la série numérique \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~u_{n}(x_{0}) \right)\) est convergente (puisqu'il y a convergence simple sur \(]0,+\infty[\));

  3. La série des fonctions dérivées \(u'_{n} = v_{n}\) converge uniformément sur tout \([a, b]\), \(0 < a < b\).

    En effet, il y a convergence normale sur tout \([a, b]\) : \(m_{n} = \underset{[a, b]}{\textrm{sup}}~|v_{n}(x)| = \underset{[a, b]}{\textrm{sup}} \left| n \frac{\ln{(2)}}{2^{nx}} \right| = \frac{n \ln{(2)}}{\underset{[a, b]}{\textrm{inf}} (2^{nx})} = \frac{n \ln{(2)}}{2^{na}}\).

    Utilisons le critère de d'Alembert pour prouver que la série (\(\sum m_{n}\)) converge : \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \frac{m_{n+1}}{m_{n}} = \frac{1}{2^{a}} < 1\).

    Donc, la série numérique des \(\textrm{sup}\) sur \([a, b]\) converge et \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} u'_{n}(x) \right)\) converge normalement donc uniformément sur \([a, b]\).

Les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme sont vérifiées.

Alors, la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} u_{n} \right)\) converge uniformément sur \([a, b]\); sa somme \(S = \underset{n \geq 1}{\sum} u_{n}\) est dérivable sur \([a, b]\) et \(S'(x) = \underset{n \geq 1}{\sum} u'_{n}(x) = \underset{n \geq 1}{\sum} v_{n}(x)\).

On a vu en exercice 6 que \(S(x) = \frac{2^{x}}{2^{x} - 1}\) donc \(\underset{n \geq 1}{\sum} -n \frac{\ln{(2)}}{2^{nx}} = - \frac{2^{x} \ln{(2)}}{(2^{x} -1)^{2}}\).

Ainsi, la série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{ \sum}~\frac{n}{2^{nx}} \right)\) converge vers la fonction : \(x \longmapsto \frac{2^{x}}{(2^{x} - 1)^{2}}\) .