Séries de fonctions

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), l'application \(f_{n}\) est impaire et de classe \(C_{\infty}\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Elle est la dérivée de \(g_{n} : x \mapsto -\frac{1}{2}e^{-nx^{2}}\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

1. • Pour \(x \neq 0\), \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~e^{-nx^{2}} \right)\) est une série géométrique de raison \(e^{-x^{2}} < 1\).

     Elle converge donc vers \(\frac{1}{1 - e^{-x^{2}}}\).

   • Pour \(x = 0\), la série diverge puisque son terme général vaut 1.

   En conséquence, \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} -\frac{1}{2}e^{-nx^{2}} \right)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}^{*}\) et sa somme est donnée par : \(\forall x \in \mathbb{R}^{*}, g(x) = - \frac{\frac{1}{2}}{1-e^{-x^{2}}}\).

2. • Pour \(x \in \mathbb{R}^{*}\) fixé, \(f_{n}(x) = \infty . \left( \frac{1}{n^{2}} \right)\) au voisinage de \(+\infty\). Donc, la série numérique (à termes positifs) \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n}(x) \right)\) converge.

   • Pour \(x = 0\), \(f_{n}(0) = 0\) , donc la série numérique \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n}(0) \right)\) converge.

   La série d'applications \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n} \right)\) converge donc simplement sur \(\mathbb{R}\).

   Etudions sa somme \(f\) :

   1. Soit \(a \in \mathbb{R}^{*}_{+}\) et \(E_{a} = \mathbb{R} \backslash ]-a, a[\).

      Pour \(n\) fixé, \(f'_{n}(x) = ne^{-nx^{2}} (1-2nx^{2})\),

      donc la restriction de \(f_{n}\) à \(\left[ \frac{1}{\sqrt{2n}}, +\infty \right[\) est positive et décroissante.

      Les fonctions \(f_{n}\) étant impaires, or on en déduit : \(\forall n \geq \frac{1}{2a^{2}},~\underset{x \in E_{a}}{\textrm{sup}}~|f_{n}(x)| = f_{n}(a)\).

      Comme \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n}(a)\right)\) converge, il en résulte que \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n}\right)\) converge normalement et donc uniformément sur \(E_{a}\).

   2. Comme \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} g_{n} \right)\) converge simplement sur \(E_{a}\) (puisqu'elle converge sur \(\mathbb{R}\), voir question 1), on peut affirmer d'après le théorème de dérivation de la somme d'une série, que la restriction de \(f\) à \(E_{a}\) est la dérivée de la restriction de \(g\) à \(E_{a}\).

      En particulier : \(\forall x \in \mathbb{R} \setminus [-a, a], f(x) = g'(x) = \frac{x e^{-x^{2}}}{(1 - e^{-x^{2}})^{2}}\).

   3. Tout \(x \in \mathbb{R}^{*}\) appartenant à un \(E_{a}\), (4) vaut pour tout \(x \in \mathbb{R}^{*}\).

      D'autre part, \(f_{n}(0) = 0\) pour tout \(n\), donc \(\underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n}(0) = 0 = f(0)\).

Remarque : On constate que \(\underset{x \neq 0}{\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}}~\left| f(x) \right| = + \infty\)

\(f\) est discontinue en 0 et comme les \(f_{n}\) sont continues en 0, la convergence de \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~f_{n} \right)\) sur \(\mathbb{R}\) n'est pas uniforme.

La fonction x \longmapsto f(x) = \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} nxe^{-nx^{2}} vaut : \(\left\{ \begin{array}{r c l} f(x) & = & \frac{xe^{-x^{2}}}{(1-e^{-x^{2}})^{2}} \qquad \textrm{si}~~x \neq 0 \\ \\ f(0) & = & 0 \end{array} \right.\).