Résolution d'un système X' = AX : Cas où la matrice A est diagonale

Soit A une matrice diagonale :

\(A = \displaystyle{\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1 & 0 & ... & 0\\0 & \lambda_2 & ... 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & \lambda_n\end{array}\right)}\)

Si on pose \(X = (x_1, ... , x_n)\), le système différentiel \(X'(t) = AX(t)\) s'écrit :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}x'_1 &=& \lambda_1& x_1 \\ x'_2& =& \lambda_2& x_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n &=& \lambda_n & x_n\end{array}\right.}\)

Il s'agit de \(n\) équations indépendantes, chacune étant linéaire homogène à coefficient constant.

Nous savons résoudre ces équations :

La solution générale de \(x'_i=\lambda_ix_i\) est \(x_i(t)=\alpha_i\textrm{exp}(\lambda_{i}t)\) , où \(a_i\) est une constante arbitraire.

La solution générale du système \(X' = AX\) est donc

\(X(t)=(\alpha_1\textrm{exp}(\lambda_1t),...,\alpha_n\textrm{exp}(\lambda_nt))\)

Si \((e_1, ... , e_n)\) est la base canonique de \(R^n\), cette solution générale s'écrit encore

\(X(t)=\alpha_1\textrm{exp}(\lambda_1t)e_1+...+\alpha_n\textrm{exp}(\lambda_nt)e_n\)

Une base de l'espace des solutions est donc

\(\{\textrm{exp}(\lambda_1t)e_1,...,\textrm{exp}(\lambda_nt)e_n\}\)

Cet espace est bien de dimension \(n\).

Exemple

Soit le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=2x \\ y'=-3y\end{array}\right.}\)

Son écriture vectorielle est \(X'=A X\), où \(A\) est la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{array}\right)}\)

En fait, il s'agit de deux équations différentielles indépendantes, l'une en \(x\) , l'autre en \(y\). La solution générale est

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x=\alpha_1\textrm{e}^{2t} \\ y= \alpha_2\textrm{e}^{-3t} \end{array}\right.}\)

où \(a_1\) et \(a_2\) sont des constantes arbitraires.

Une base de l'espace des solutions est donc

\(\left\{\begin{array}{cccccc} U_1(t)&=&\exp(2t).e_1&=&\left(\begin{array}{cccccc}&\exp(2t)&\\&0&\end{array} \right)\\ U_2(t)&=&\exp(-3t).e_2&=&\left(\begin{array}{cccccc}&0&\\&\exp(-3t)&\end{array} \right) \end{array}\right.\)