Trajectoires et points stationnaires
Rappelons qu'un système différentiel est dit autonome si les équations intervenant dans ce système ne font pas intervenir la variable \(t\) par rapport à laquelle sont calculées les dérivées.
Autrement dit, un système différentiel autonome en dimension 2 est de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=f(x,y) \\ y'=g(x,y)\end{array}\right.}\)
où les fonctions \(f\) et \(g\) sont définies sur \(R^2\), à valeurs réelles, avec
\(x'=\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t},y'=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\)
Nous supposerons que le système vérifie les hypothèses du théorème d'existence et d'unicité des solutions, de sorte que, pour tous réels \(x_0\), \(y_0\), \(t_0\) donnés, il existe une solution \(S(t) = (x(t) , y(t))\) et une seule vérifiant la condition \(S(t_0) = (x_0, y_0)\).
Pour alléger l'écriture, nous supposerons de plus que toutes les solutions sont définies sur \(R\) tout entier.
On appelle trajectoire l'image d'une telle solution \(S(t)\). C'est donc la courbe du plan \((x, y)\) d'équation paramétrique \((x(t), y(t))\).
En d'autres termes, c'est l'ensemble de points du plan \(\{(x(t),y(t));t\varepsilon \mathbb R\}\)
Nous allons voir maintenant que plusieurs solutions peuvent avoir pour image la même trajectoire.
Proposition :
Preuve :
Il est facile de voir que, puisque le système est autonome, si \(S(t)\) est une solution du système, \(S_a(t)\) est aussi une solution. De plus, si \(t\) parcourt \(R\), \(t - a\) parcourt \(R\) également, donc ces deux solutions parcourent toutes les deux l'image \(S(R)\).
Si la solution \(S\) passe par le point \(M\) à l'instant \(t_0\), la solution \(S_a\) passe par le même point \(M\) à l'instant \(t_0 + a\). Autrement dit, si l'on considère que \(t\) représente le temps, \(S_a\) parcourt la même trajectoire que \(S\) avec un retard constant égal à \(a\).
Le théorème d'existence et d'unicité nous dit que pour tout point \(M\) du plan et tout réel \(t_0\), il y a une unique solution \(S\) vérifiant \(S(t_0) = M\).
D'après la proposition ci-dessus, la trajectoire parcourue ne dépend que du point \(M\), et pas de \(t_0\). Le point \(M\) détermine donc une unique trajectoire.
On énonce ce résultat sous la forme suivante :
Théorème :
Par tout point \(M = (x, y)\) passe une trajectoire et une seule.
Points stationnaires
Soit un point \(M = (x_0, y_0)\) où on a à la fois \(f(x_0,y_0)=0\) et \(g(x_0,y_0)=0\)
La fonction constante \(S(t)=(x_0,y_0)\), dont la dérivée est identiquement nulle, est une solution du système. Autrement dit, le point \(M=(x_0,y_0)\) est une trajectoire à lui tout seul. Puisque par chaque point du plan passe une trajectoire et une seule, les autres trajectoires ne passent pas par le point \(M\). Un tel point \(M\) est appelé point stationnaire du système (car la solution qui passe par ce point y reste, y stationne). On dit aussi point critique ou point d'équilibre. Nous y reviendrons ...
On appelle portrait de phases d'un système différentiel l'ensemble de ses trajectoires. Dans la pratique, tracer le portrait de phases d'un système de dimension 2, c'est tracer, dans le plan \((x, y)\), suffisamment de trajectoires pour que l'on puisse les imaginer toutes.
Nous allons d'abord étudier le portrait de phase des systèmes linéaires homogènes à coefficients constants, et ensuite celui de systèmes plus généraux.