Principe de linéarisation [Portraits de phase et points stationnaires]

Principe de linéarisation

Il s'agit dans cette page d'étudier le comportement des trajectoires^[1], au voisinage des points stationnaires^[2], d'un système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=f(x,y) \\ y'=g(x,y)\end{array}\right.\quad(1)}\)

où les fonctions \(f\) et \(g\) admettent des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre 2.

Soit \(A = (x_0,y_0)\) un point stationnaire, c'est-à-dire que l'on a \(f (x_0, y_0) = g (x_0,y_0) = 0\).

Le point A est une trajectoire à lui tout seul (image de la solution constante). Nous nous intéressons ici aux trajectoires qui passent près du point A.

Posons \(a=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),b=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),c=\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0),d=\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)\)

Le développement limité des fonctions f et g à l'ordre 1 au voisinage de \(A = (x_0,y_0)\) s'écrit alors :

\(\begin{array}{ll}f(x_0+h,y_0+k)=ah+bk+R(h,k) \\ g(x_0+h,y_0+k)=ch+dk+S(h,k)\end{array}\)

où les fonctions R et S s'annulent à l'origine ainsi que leurs dérivées premières, c'est à dire que les fonctions R et S sont des

\(0(\sqrt{h^2+k^2})\)

Il est raisonnable de penser qu'au voisinage de A, les termes \(R (h, k)\) et \(S (h, k)\) sont négligeables devant les parties linéaires \(ah + bk\) et \(ch + dk\), du moins si ces parties linéaires ne sont pas nulles.

On dit que le système (I) est approximé au voisinage du point stationnaire A par le système linéaire

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}h'=ah+bk \\ k'=ch+dk\end{array}\right.}\)

le point stationnaire A étant ramené à l'origine par le changement de variable \(h = x - x_0\), \(k = y - y_0\).

Le système (II) s'écrit encore \(H' = J H\), où l'on a posé \(H = (h, k)\) et

\(\displaystyle{J =\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) & \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x_0, y_0) & \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)\end{array}\right)}\)

La matrice J se nomme matrice jacobienne du système en \((x_0,y_0)\) .

Le système (II) est le linéarisé du système (I) au voisinage du point stationnaire A.

Le principe ci-dessous n'est pas exprimé en termes mathématiques ; cela pourrait se faire, mais utiliserait des notions qui sortent du cadre de ce cours.

Principe de linéarisation :

Lorsque les valeurs propres de la matrice jacobienne d'un système différentiel en un point stationnaire A ne sont ni nulles, ni imaginaires pures, les trajectoires de ce système au voisinage de A se comportent comme les trajectoires de son linéarisé au voisinage de l'origine.

Ainsi par exemple, si le linéarisé est un foyer^[3] attractif (valeurs propres complexes de partie réelle négative), les trajectoires du système initial au voisinage de A tendent vers A en spiralant. On dit encore que A est un foyer attractif.

On parlera de même de col ou de noeud (attractif ou répulsif), même pour un système non linéaire, si le linéarisé correspondant présente à l'origine un col^[4] ou un noeud^[5].

En revanche, si le linéarisé présente un centre à l'origine, ce qui se produit quand les valeurs propres sont imaginaires pures, les trajectoires du système non linéaires ne se comportent pas forcément comme celles du linéarisé. Parfois, des considération de symétrie permettent néanmoins de montrer qu'au voisinage d'un tel point critique, les trajectoires sont des courbes fermées qui l'entourent.

Exemple : considérons le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=y \\ y'=-y-\sin x\end{array}\right.\quad(I)}\)

Ce système modélise le comportement du mouvement d'un pendule à petit frottement. Les points stationnaires sont les points ,

\(A_n=n\pi\)

avec n entier.

La matrice jacobienne au point \(A_n\) est

\(\displaystyle{J_n= \left(\begin{array}{cc}0&1 \\ -1^{n+1} & -1\end{array}\right)}\)

Son polynôme caractéristique est r^2+r+(-1)^{n+1}

Si \(n\) est pair, ses racines sont complexes de partie réelle négative; le point critique est un foyer attractif.

Si \(n\) est impair, elles sont réelles de signes contraires ; le point critique est un col.

Notes

Trajectoire
Soit \(u_1(t), ..., u_n(t)\) une solution d'un système différentiel de dimension n, définie sur un intervalle \(I\) de \(R\). La trajectoire de cette solution est son image dans \(R^n\), c'est à dire l'ensemble des points
\({(u_1(t),...,u_n(t))/t\in I}\)
C'est une courbe de \(R^n\).
Point stationnaire
Soit un système différentiel autonome de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc}x'_1 & = & f_1(x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(x_1,...,x_n) \end{array}\right.}\)
Un point stationnaire de ce système est un point \(M=(a_1,...,a_n)\) de \(R^n\) tel que
\(f_1(a_1,...,a_n)=...=f_n(a_1,...,a_n)=0\)
La fonction constante qui à tout \(t\) associe le point \(M\) est une solution du système : le point \(M\) est donc une trajectoire à lui tout seul.
Foyer
Etant donné un système linéaire de dimension 2 de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un foyer si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres complexes conjuguées, qui ne sont ni réelles, ni imaginaires pures.
On dit que le foyer est attractif si la partie réelle commune des deux valeurs propres est négative, répulsif si cete partie réelle est positive. Les trajectoires sont des spirales autour de l'origine \(O\), parcourues vers \(O\) si le foyer est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un foyer si le linéarisé du système au point \(M\) possède un foyer à l'origine.
Col
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un col si les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\)
sont réelles non nulles, de signes opposés.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un col si le linéarisé du système au point \(M\) possède un col à l'origine.
Noeud
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un noeud si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres réelles non nulles de même signe.
On dit que le noeud est attractif si les valeurs propres sont négatives, répulsif si elles sont positives. Les trajectoires sont parcourues vers \(O\) si le noeud est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un noeud si le linéarisé du système au point \(M\) possède un noeud à l'origine.