Zoom au voisinage des points stationnaires [Portraits de phase et points stationnaires]

Zoom au voisinage des points stationnaires

Cette page cherche à illustrer à quel point, au voisinage des points stationnaires^[1] d'un système différentiel autonome, le portrait de phase du système et celui de son linéarisé se ressemblent.

Considérons le système différentiel en dimension 2 :

\(\left\{\begin{array}{lll}x'=\sin x.\sin y \\ y'=\cos(x.y)\end{array}\right.\)

Ce système admet une infinité de points stationnaires.

Intéressons-nous aux trois points\( A(1/2,\pi),B(3/2,\pi),C(\pi,5/2)\)

C'est un bon exercice de vérifier que A, B et C sont des points stationnaires , et que les linéarisés au voisinage de ces points sont respectivement :

pour A :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u'=-\sin(1/2)v \\ v'=-\pi u-v/2\end{array}\right.}\)

pour B :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u'=-\sin(3/2)v \\ v'=\pi u+3v/2\end{array}\right.}\)

et pour C :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u'=-\sin(5/2)v \\ v'=-5u/2-\pi v\end{array}\right.}\)

On vérifie aisément que le premier système est un col^[2], le second un foyer^[3] et le troisième un nœud^[4].

Sur la figure ci-dessous, vous voyez, sur la partie du haut, le portrait de phase^[5] du système (I) dans la fenêtre \([-1, 4] \times [1.5, 4]\).

Si vous cliquez sur un des boutons du bas (col A, foyer B ou nœud C), vous voyez apparaître :

Dans le cadre en bas à gauche, le portrait de phase du système (I) au voisinage de ce point (la fenêtre est le rectangle vert de la figure du haut).
Dans le cadre en bas à droite, le portrait de phase du linéarisé en ce point.

A première vue les deux dessins du bas sont très similaires ; ils se ressemblent d'autant plus qu'on est près du point stationnaire. Effectivement l'approximation du système par son linéarisé en ce point est d'autant meilleure qu'on est près de ce point.

En regardant mieux les zones éloignées de ces points stationnaires, on constate une différence entre le système et son linéarisé.

Notes

Point stationnaire
Soit un système différentiel autonome de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc}x'_1 & = & f_1(x_1,...,x_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x'_n & = & f_n(x_1,...,x_n) \end{array}\right.}\)
Un point stationnaire de ce système est un point \(M=(a_1,...,a_n)\) de \(R^n\) tel que
\(f_1(a_1,...,a_n)=...=f_n(a_1,...,a_n)=0\)
La fonction constante qui à tout \(t\) associe le point \(M\) est une solution du système : le point \(M\) est donc une trajectoire à lui tout seul.
Col
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un col si les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\)
sont réelles non nulles, de signes opposés.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un col si le linéarisé du système au point \(M\) possède un col à l'origine.
Foyer
Etant donné un système linéaire de dimension 2 de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un foyer si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres complexes conjuguées, qui ne sont ni réelles, ni imaginaires pures.
On dit que le foyer est attractif si la partie réelle commune des deux valeurs propres est négative, répulsif si cete partie réelle est positive. Les trajectoires sont des spirales autour de l'origine \(O\), parcourues vers \(O\) si le foyer est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un foyer si le linéarisé du système au point \(M\) possède un foyer à l'origine.
Noeud
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un noeud si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres réelles non nulles de même signe.
On dit que le noeud est attractif si les valeurs propres sont négatives, répulsif si elles sont positives. Les trajectoires sont parcourues vers \(O\) si le noeud est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un noeud si le linéarisé du système au point \(M\) possède un noeud à l'origine.
Portrait de phases
Ensemble des trajectoires d'un système différentiel autonome.