Travaux pratiques

Il s'agit dans cette page d'étudier le comportement des trajectoires, au voisinage des points stationnaires, d'un système

\(\begin{displaymath}(I) \left\{ \begin{array}{ll}x'=f(x,y)\\y'=g(x,y)\end{array} \right. \end{displaymath}\)

où les fonctions \(f\) et \(g\) admettent des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre 2.

Soit \(A = (x_0,y_0)\) un point stationnaire, c'est-à-dire que l'on a \(f (x_0, y_0) = g (x_0,y_0) = 0\)

Le point \(A\) est une trajectoire à lui tout seul (image de la solution constante). Nous nous interessons ici aux trajectoires qui passent près du point A

Posons \(a=\frac{\partial f}{\partial x} \: (x_{0},\,y_{0}),\; b=\frac{\partial f}{\partial y} \:(x_{0,}\,y_0),\; c=\frac{\partial g}{\partial x} \:(x_{0},\,y_{0}),\; d=\frac{\partial g}{\partial y} \:(x_{0},\,y_{0})\)

Le développement limité des fonctions \(f\) et \(g\) à l'ordre 1 au voisinage de \(A = (x_0,y_0)\) s'écrit alors :

\(\begin{array}{c}f(x_{0}+h,\: y_{0}+k)=ah+bk+R(h,\, k)\\g(x_{0}+h,\: y_{0}+k)=ch+dk+S(h,\, k)\end{array}\)

où les fonctions R et S s'annulent à l'origine ainsi que leurs dérivées premières, c'est à dire que les fonctions \(R\) et \(S\) sont des \(o\left(\sqrt{h^2+k^2}\right)\)

Il est raisonnable de penser qu'au voisinage de \(A\), les termes \(R (h, k)\) et \(S (h, k)\) sont négligeables devant les parties linéaires \(ah + bk\) et \(ch + dk\), du moins si ces parties linéaires ne sont pas nulles.

Le système (II) s'écrit encore \(H' = J H\), où l'on a posé\( H = (h, k)\) et \(J=\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \: & \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \:\\\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0) \: & \frac{\partial g}{\partial y} (x_0,y_0)\:\end{array}\right) .\)

La matrice \(J\) se nomme matrice jacobienne du système en \((x_0,y_0)\) .

Le système (II) est le linéarisé du système (I) au voisinage du point stationnaire \(A\).

Le principe ci-dessous n'est pas exprimé en termes mathématiques ; cela pourrait se faire, mais utiliserait des notions qui sortent du cadre de ce cours.

Ainsi par exemple, si le linéarisé est un foyer attractif (valeurs propres complexes de partie réelle négative), les trajectoires du système initial au voisinage de A tendent vers A en spiralant. On dit encore que \(A\) est un foyer attractif.

On parlera de même de col ou de noeud (attractif ou répulsif), même pour un système non linéaire, si le linéarisé correspondant présente à l'origine un col ou un noeud.

En revanche, si le linéarisé présente un centre à l'origine, ce qui se produit quand les valeurs propres sont imaginaires pures, les trajectoires du système non linéaires ne se comportent pas forcément comme celles du linéarisé. Parfois, des considération de symétrie permettent néanmoins de montrer qu'au voisinage d'un tel point critique, les trajectoires sont des courbes fermées qui l'entourent.

Cette section cherche à illustrer à quel point, au voisinage des points stationnaires d'un système différentiel autonome, le portrait de phase du système et celui de son linéarisé se ressemblent.

Considérons le système différentiel en dimension 2 :

\((I) \left\{\begin{array}{ccc}x' & = & sin(x) sin(y)\\y' & = & cos(xy)\end{array}\right.\)

Ce système admet une infinité de points stationnaires.

Intéressons-nous aux trois points \(A (1/2, \pi ),\: B(3/2, \pi ),\: C(\pi,5/2 )\)

C'est un bon exercice de vérifier que A, B et C sont des points stationnaires , que les linéarisés au voisinage de ces points sont respectivement :

pour \(A \): \(\left\{\begin{array}{ccc}u^{\prime } & = & -\sin (1\slash 2)\: v\\v^{\prime } & = & -\pi u-v\slash 2\end{array}\right.\) et que ce système est un col

pour \(B \): \(\left\{\begin{array}{ccc}u^{\prime } & = & -\sin (3\slash 2)\: v\\v^{\prime } & = & \pi u+3v\slash 2\end{array}\right.\) ce système un foyer

pour \(C \): \(\left\{\begin{array}{ccc}u^{\prime } & = & -\sin (5\slash 2)\: u\\v^{\prime } & = & -5u\slash 2-\pi v\end{array}\right.\) et celui-ci un nœud