Travaux pratiques : Pendule
Portrait de phase
On considère un pendule constitué d'une petite bille au bout d'une fine tige rigide qui se déplace dans un plan vertical.
Notons \(\theta\) l'angle balayé par le pendule depuis une position d'équilibre (pendule vertical, en position basse).
Les positions d'équilibre sont donc obtenues pour \(\theta = 2k\pi\) (position basse, équilibre stable) et pour \(\theta = 2(k+1)\pi\) (position haute, équilibre instable).
En cas d'absence de frottement, on peut choisir les unités de façon que la loi de Newton \(\vec F = m\vec a\) se traduise par l'équation du second ordre \(\theta'' = -sin(\theta)\).
On peut introduire un frottement proportionnel à la vitesse angulaire (ce qui, en première approximation, correspond à la réalité physique) qui donnera alors l'équation \((1)\) \(\theta'' = -sin(\theta) - p\theta'\) ( le paramètre \(p\) est appelé coefficient de frottement).
Comme on a vu dans le cours, cette équation du second ordre peut se traduire par un système de deux équations du premier ordre
\(\begin{displaymath}(2) \left\{ \begin{array}{ccc}\theta'&=&\omega\\\omega'&=&-sin(\theta)-p\omega\end{array} \right. \end{displaymath}\)
où \(\omega(t)\) représente la vitesse angulaire du pendule à l'instant \(t\).
L'animation ci-dessous représente le portrait de phase de ce système.
Explication :
On peut cliquer sur la figure pour tracer de nouvelles trajectoires, et faire varier le paramètre \(p\) (on peut même lui donner des valeurs négatives, ce qui ne correspond pas physiquement à un frottement !).
Ce système n'est pas linéaire (à cause de la présence du sinus) ; on peut cependant déterminer la nature des point stationnaires en étudiant le linéarisé du champ en ces points (voir la page Linéarisation dans cette même rubrique TP).
Les points stationnaires correspondent dans le plan \((\theta,\omega)\) aux valeurs \(\theta = k\pi, \omega = 0\) .
Pour k impair, on peut démontrer (faites-le !) que le point stationnaire est un col (les valeurs propres du champ linéarisé sont réelles, de signes opposés).
Pour k pair (et en particulier pour l'origine), la situation est plus compliquée :
Si \(p = 0\), le point stationnaire est un centre.
Si \(0 < p < 2\), c'est un foyer attractif, et si \(p > 2\) un nœud attractif.
Si \(-2 < p < 0\), on a un foyer répulsif, et si \(p < -2\), un nœud répulsif. Remarquons que dans le cas fictif \(p < 0\), la position verticale basse correspond à un équilibre instable (et la position haute aussi) !
Essayer de repérer les différents types de trajectoires, et d'imaginer à quels mouvements du pendule correspond chacun de ces types.
Mouvement animé
On a vu que les mouvements du pendule peuvent être représentés comme les solutions du système
\(\begin{displaymath}(2) \left\{ \begin{array}{ccc}\theta'&=&\omega\\\omega'&=&-sin(\theta)-p\omega\end{array} \right. \end{displaymath}\)
où \(\theta(t)\) est l'angle par rapport à la verticale, et \(\omega(t)\) la vitesse angulaire du pendule à l'instant \(t\).
Pour mieux faire comprendre à quels mouvements correspond chaque trajectoire de ce système, l'animation ci-dessous affiche simultanément une animation des mouvements de ce pendule, et la trajectoire correspondantre dans le portrait de phase.
Explication :
Des boutons permettent de régler la position et la vitesse initiales , et de faire varier le coefficient de frottement (auquel on peut même donner des valeurs négatives).
Les boutons "Zoom" permettent d'adapter l'échelle à chaque situation.
L'animation démarre quand on appuie sur "départ" et, sur la partie droite de la figure, la trajectoire dans le plan de phases se trace simultanément.
En observant l'animation ci-dessus dans un grand nombre de situations, c'est-à-dire en donnant à la position initiale, la vitesse initiale et au frottement des valeurs diverses, et en adaptant l'échelle à chaque cas, on peut se persuader des faits suivants :
Si le coefficient de frottement est positif :
S'il n'est pas trop grand (entre 0 et 2), le pendule se rapprochera d'une position d'équilibre (éventuellement après avoir fait un ou plusieurs tours) en oscillant autour de cette position. Sur le portrait de phase, cela correspond à des trajectoires qui spiralent autour d'un foyer attractif.
Si le frottement est important ( p > 2) , le pendule se rapproche d'une position d'équilibre stable sans osciller. Sur le portrait de phase, cela correspond à des solutions qui tendent vers un noeud attractif.
Si le coefficient de frottement est nul :
Pour une position initiale donnée, si la vitesse initiale n'est pas trop grande (par exemple si elle est nulle), le pendule oscille périodiquement autour d'une position d'équilibre. Sur le portrait de phase, cela correspond à des trajectoires fermées qui entourent le point stationnaire : ce point est un centre.
Si la vitesse initiale est assez grande, le pendule tourne indéfiniment dans le même sens, autour du point fixe de la tige (mais pas à vitesse constante). Sur le portrait de phase, cela correspond à des trajectoires ondulantes (en haut de la figure si le pendule tourne dans le sens direct, en bas de la figure sinon).
Remarquons que dans ce cas le mouvement du pendule est périodique, alors que la solution correspondante dans le plan des phases ne l'est pas.
Si le coefficient de frottement est négatif (cas "fictif") :
Dans ce cas le pendule s'éloigne de sa position d'équilibre, avec ou sans oscillations au départ suivant la valeur absolue du coefficient de frottement. Le pendule finit toujours , au bout d'un certain temps, par tourner indéfiniment autour du point fixe de la tige, et sa vitesse angulaire tend vers l'infini avec le temps (ça aussi, c'est fictif !). Sur le portrait de phases, cela correspond à la présence de foyers ou de nœuds répulsifs.