Exercice n°4

Partie

Question

Montrer que pour un même éclairement, si on double la largeur de la fente fixe diffractante l'intensité au pic de diffraction principal augmente d'un facteur quatre.

Solution détaillée

Pour une fente de largeur \(a\) :

\(I_1 = I_0 . \frac{ \sin^2 \frac{\Phi}{2} }{ \Big( \frac{\Phi}{2} \Big)^2 }\) avec \(\Phi = \frac{2 \pi \alpha a}{\lambda}\)

Pour \(\alpha = 0\), \(I_1 = I_0\)

Pour une fente double éclairée de la même manière :

\(I_2 = 2 I_0 \frac{ \sin^2 \frac{\Phi}{2} }{ \Big( \frac{\Phi}{2} \Big)^2 } \Big( 1 + \cos \frac{2 \pi \alpha d}{\lambda} \Big)\) avec ici \(d = a\)

D'où pour \(\alpha = 0\) : \(I_2 = 2 I_0 . 2 = 4 I_0\)

Si \(\alpha \ne 0\)

\(I_2 = 2 I_0 \frac{ \sin^2 \frac{\Phi}{2} }{ \Big( \frac{\Phi}{2} \Big)^2 } (1 + \cos ~ \Phi) = 4 I_0 \frac{ \sin^2 \frac{\Phi}{2} }{ \Big( \frac{\Phi}{2} \Big)^2 } ~.~ \cos^2 \frac{\Phi}{2}\)

\(I_2 = I'_0 \frac{ \sin^2 \frac{\Phi'}{2} }{ \Big( \frac{\Phi'}{2} \Big)^2 }\) avec \(\Phi' = \frac{2 \pi \alpha (2a)}{\lambda}\)