Densité superficielle / Densité variable 4/4
Partie
Question
Un tube de hauteur \(H\) et de rayon \(R\) est chargé superficiellement par une densité superficielle de charges \(\sigma = kh\) variant en fonction de la hauteur \(h\) par rapport à la base du tube, \(0 < h \le H\).
Donner l'expression littérale de la charge \(Q\) portée par la surface \(S\) du cylindre.
Aide simple
Sur quelle surface élémentaire \(\mathrm d S\) du cylindre, la densité superficielle de charges peut-elle être considérée approximativement constante? (Remarquez que \(\sigma\) ne dépend que de \(h\))
Aide détaillée
La surface élémentaire \(\mathrm d S\) comprise entre les cylindres \((R,h)\) et \((R , h+ \mathrm d h)\) est telle que la densité superficielle de charges \(\sigma\) qu'elle porte peut être considérée constante puisque \(\mathrm d h\) est infiniment petit.
Aussi, l'intégrale de surface
\(Q = \iint_S ~ \sigma \mathrm d S\)
se réduit à une intégrale simple en \(\mathrm d h\)
Solution simple
\(Q = \pi R H^2 k\)
Solution détaillée
Nous choisirons comme surface élémentaire \(\mathrm d S\) sur laquelle la densité superficielle \(\sigma\) peut être supposée constante la surface élémentaire de largeur \(\mathrm d h\). Si \(S\) représente la surface de cylindre de hauteur \(h\) , \(\mathrm d S\) est obtenue en faisant la différentielle de \(S\).
\(S = 2 \pi R h\)
\(\mathrm d S = 2 \pi R ~ \mathrm d h\)
La charge totale portée par la surface du cylindre est :
\(\displaystyle{Q = \iint_S ~ \sigma \mathrm d S = \int_0^H h k 2 \pi R ~ \mathrm d h}\)
\(Q = \pi R H^2 k\)