V créé par une source quelconque [Potentiel électrostatique V]

V créé par une source quelconque

Cas d'une distribution discrète

Le champ créé en $M$ par cette distribution est la somme vectorielle de tous les champs créés en $M$ par chacune des charges $q_i$

D'où le potentiel créé en $M$ par la distribution est :

$\displaystyle{V(M) = - \int_{\infty}^M \sum \vec E_i . \mathrm d \vec M = - \int_{\infty}^{r_i} \sum \frac {Q_i} {4 \pi \varepsilon_0 r_i} \vec u_{r_i} . \mathrm d r~\vec u_{r_i}}$

$V(M) = \sum_i \frac {Q_i} {4 \pi \varepsilon_0 r_i}$

Cas d'une distribution continue

nuage de charges

surface électrisée

fil chargé

Dans ce cas, la source est découpée en charges élémentaires $\mathrm d Q$ infiniment petites. Chaque charge élémentaire crée en $M$ un potentiel :

$\mathrm d V(M) = \frac{\mathrm d Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$

$\displaystyle {V(M) = \int_{\mathrm{source}} \frac {\mathrm d Q} {4 \pi \varepsilon_0 r}}$