Potentiel électrostatique V

a) \(V(A) - V(B) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \frac{\rho_B}{\rho_A}\)

Application numérique : \(V(A) - V(B) = V\)

a) En coordonnées cylindriques : \(\mathrm d \vec M = \mathrm d \rho ~ \vec u_\rho + \rho \mathrm d \theta ~ \vec u_{\theta} + \mathrm d z ~ \vec u_z\)

\(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int_B^A \vec E . \mathrm d \vec M}\)

\(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 \rho} \vec u_\rho . (\mathrm d \rho ~ \vec u_\rho + \rho \mathrm d \theta ~ \vec u_{\theta} + \mathrm d z ~ \vec u_z)}\)

Les produits scalaires \(\vec u_{\rho} . \vec u_{\theta}\) et \(\vec u_{\rho} . \vec u_z\) sont nuls car les vecteurs sont orthogonaux.

\(\vec u_{\rho} . \vec u_{\rho} = 1\)

\(V(A) - V(B) = - \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} [\ln \rho]_{\rho_B}^{\rho_A} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \Big( \frac{\rho_B}{\rho_A} \Big)\)

Application numérique : \(V(A) - V(B) = 10^{-9}(18.10^9) \ln(10) = 41,4 ~ \mathrm V\).

b) L'intégrale menant au calcul de \(V(A) - V(B)\) diverge si une des bornes est infinie. On ne peut donc prendre l'origine des potentiels à l'infini. Cela est dû au fait que le fil étant infiniment long , la source n'est pas localisée et il y a des charges à l'infini.