Composition de vibrations (1)
Partie
Question
Soient trois vibrations sinusoïdales de même amplitude et déphasées entre elles de \(\phi\). Calculer l'intensité résultante par le calcul trigonométrique direct.
Aide simple
Utiliser les relations trigonométriques d'addition des sinus
Rappel de cours
Rappels de trigonométrie
Unités d'angle . Les principales unités d'angle sont :
l'angle droit (angle existant en géométrie entre deux droites orthogonales)
le degré ( ° ) est la 90ème partie de l'angle droit. Il se subdivise en 60 minutes et chaque minute se subdivise en 60 secondes.
le grade ( gr ) est la 100ème partie de l'angle droit
le radian ( rd )
le radian est l'angle au centre qui intercepte sur un cercle un arc de longueur égale au rayon. On en déduit que :
\(180° =200 gr= \pi rd\)
Calculons la valeur d'une minute d'angle en radians :
\(1' = \frac{1}{60}° =\frac{\pi}{180.60}rd = 0,000291 rd\)
soit \(1'\cong \frac{3}{10000}rd\)
Si la circonférence du cercle de rayon R vaut : \(2\pi R\) alors la longueur de l'arc AB intercepté par l'angle au centre vaut :
\(s=2\pi R.\frac{\alpha}{2\pi}=R\,\alpha\)
Un angle caractérisé par sa mesure peut l'être également par ses rapports trigonométriques ou lignes trigonométriques :
\(sin\alpha=\frac{HM}{OM}\)
\(cos\alpha=\frac{OH}{OM}\)
\(tan\alpha=\frac{MH}{OH}\)
avec les relations :
\(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)
\(tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\)
Angles complémentaires
Lorsque deux angles sont complémentaires (leur somme est égale à 90°) le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre. Le tableau ci-contre rappelle quelques valeurs particulières.
Cas des petits angles:
Pour un petit angle on peut confondre le sinus, la tangente et la valeur de l'angle en radians; le cosinus pourra être confondu avec l'unité.
Formules relatives à l'addition des arcs:
\(sin ( a + b ) = sin a . cos b + cos a . sin b\)
\(sin ( a - b ) = sin a . cos b - cos a . sin b\)
\(cos ( a + b ) = cos a . cos b - sin a . sin b\)
\(cos ( a - b ) = cos a . cos b + sin a . sin b\)
Formules déduites de celles relatives à l'addition des arcs:
\(sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}\)
\(sina-sinb=2sin\frac{a-b}{2}cos\frac{a+b}{2}\)
\(cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}\)
\(cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}\)
Formules relatives à la division des arcs:
\(2sin^2\frac{a}{2}=1-cosa\)
\(2cos^2\frac{a}{2}=1+cosa\)
\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
\(a^2=b^2+c^2-2bc\,cosA\)
\(b^2=c^2+a^2-2ac\,cosB\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab\,cosC\)
Solution détaillée
\(s_1=a\,cos(\omega\,t+\phi)\)
\(s_2=a\,cos\,\omega\,t\)
\(s_3=a\,cos(\omega\,t-\phi)\)
\(s_r=s_1+s_2+s_3=a_r\,cos(\omega\,t+\Phi)\)
l'intensité est représentée par : \(I_r= a_r^2\)
en faisant la somme des 3 vibrations :
\(s_r=a(cos(\omega t+\phi)+cos(\omega t-\phi))+a\,cos\,\omega t=a\,cos\omega t.2\,cos\phi+a\,cos\omega t=a\,cos\omega t(1+2cos\phi)\)
\(s_r=a\,(1+2\,cos\phi)\,cos\omega t=a_r\,cos\omega t\)
on en déduit donc : \(I_r=a^2\,(1+2\,cos\phi)^2\) et \(\Phi=0\)