Calcul de dA, cas d'un fil rectiligne

Partie

Question

On considère un conducteur rectiligne et filiforme parcouru par un courant d'intensité constante égale à \(I\).

Considérons le repère \(\mathcal{R} = (0 ; x, y, z)\) tel que le conducteur est porté par l'axe \(Oz\). Soient \(M\) un point quelconque de coordonnées \(\left(x_M, y_M, z_M\right)_{\mathcal{R}}\), et \(P\) un point du conducteur de coordonnées \(\left(0, 0, z_P\right)_{\mathcal{R}}\).

Déterminer quel est le potentiel vecteur élémentaire \(\vec{\mathrm{d}A}\) créé en \(M\) par une longueur de conducteur élémentaire \(\vec{\mathrm{d}l}\) orientée dans le sens de \(I\) et centrée en \(P\).

Aide simple
Rappel de cours

Nom de l'outil

Comment s'énonce-t-il ?

Quand l'utiliser ?

Théorème

d'Ampère

\(\displaystyle{ \oint_{\mathcal C}\vec B.\vec{\mathrm{d}l}=\mu_0\sum I }\)

Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie du problème permet un calcul simple de la circulation de \(\vec B\).

Loi de

Biot et Savart

\(\displaystyle{ \vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3} }\)

Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie de la distribution ne permet pas une application simple du théorème d'Ampère.

Relation champ magnétostatique/

potentiel vecteur

\(\vec{B}(M)=\vec{\mathrm{rot}}\vec A(M)\)

Pour calculer \(\vec B\) si \(\vec A\) est connu.

Définition de la

force de Laplace

\(\vec{F_m}=\displaystyle{ \int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\vec B_{\mathrm{ext}}(P) }\)

Pour calculer la force qui s'exerce sur une distribution \(\mathcal D\) soumise à un champ magnétostatique extérieur \(\vec B_{\mathrm{ext}}\)

Théorème de

Maxwell

\(W_{2\leftarrow1}=I . \Phi_c\)

Pour calculer directement le torseur des forces qui agissent sur un circuit.

Définition du

potentiel vecteur

\(\displaystyle{ \vec A(M)=\int_{\mathcal D}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{\mathrm{d}\mathcal C}(P)}{PM} }\)

Pour calculer \(\vec A\) si la distribution a un haut degré de symétrie.

Solution détaillée

On sait que \(\displaystyle{ \vec{\mathrm{d}A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \vec{\mathrm{d}l} }{PM} }\), il faut alors calculer \(PM\).

On a

\(\vec{PM} \mathrm{ } \left| \begin{array}{l} x_M - 0 \\ y_M - 0 \\ z_M - z_P \end{array}\right.\) \(\Rightarrow PM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2 + (z_M - z_P)^2}\)

D'où \(\displaystyle{ \vec{\mathrm{d}A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{I . \vec{\mathrm{d}l} }{ \sqrt{x_M^2 + y_M^2 + (z_M - z_P)^2} } }\)