Les propriétés du champ magnétostatique

• Précédemment nous avons vu que, d'une part \(\mathrm{div}[\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec A(M)] = 0\) et d'autre part \(\mathrm{div}\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = 0\).

  On peut donc poser : \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec A(M)\).

  Ainsi, on associe au champ vectoriel \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}\), le champ vectoriel \(\vec A\) appelé potentiel vecteur du champ magnétostatique ; \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}\) dérive donc d'un potentiel vecteur \(\vec A\).

• Cette relation locale peut s'exprimer sous forme intégrale grâce à la définition du rotationnel, ce qui donne :

  \(\iint_{\mathfrak{S}} \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}} \vec A .\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{d}\mathfrak{S}} = \oint_{{\textcircled{C}}} \vec A . \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \iint_{\mathfrak{S}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} .\mathrm{ }\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{d}\mathfrak{S}}\)

• Cette relation peut être mise à profit pour définir l'unité de \(\mathsf{A}\) dans le système d'unités international : le flux du champ magnétostatique à travers une surface s'exprimant en weber \((\mathrm{Wb})\), l'unité de \(\mathsf{A}\) est donc le weber par mètre \((\mathrm{Wb} . m^{-1})\).

• Le terme potentiel provient de ce que \(\vec A\) n'est défini qu'à une constante vectorielle près ; en effet, si l'on pose \(\vec A^, = \vec A + \overrightarrow{\mathrm{grad}}f\) , on peut écrire, compte tenu des relations établies précédemment :

  \(\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec A^{,} = \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\big(\vec A + \overrightarrow{\mathrm{grad}}f\big) = \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec A = \stackrel{\hookrightarrow}{B}\), puisque \(\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}f) = 0\).

  \(\vec A\) n'est donc défini qu'à un gradient d'un champ scalaire \(\mathsf{f}\) près, soit à \(\overrightarrow{\mathrm{grad}}f\) près.

• Sachant que

  \(\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec B = \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}(\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec A) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\vec A) - \bigtriangledown^2 \vec A =\mu_0 \vec J~~,\)

  on peut écrire :

  \(\bigtriangledown^2 \vec A = \overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\vec A) - \mu_0\vec J\)

  Pour disposer d'équations semblables à celles de l'électrostatique et sachant que \(\vec A\) est défini à une constante vectorielle près, cette constante est choisie de telle sorte que \(\mathrm{div}\vec A = 0\) ce qui permet ainsi d'écrire : \(\bigtriangledown^2 \vec A = \mu_0\vec J\).

  La relation \(\mathrm{div}\vec A = 0\) qui fixe donc un choix de constante est appelée jauge, ici jauge de Coulomb.

En électrostatique, le potentiel électrostatique en un point \(\mathsf{M}\) s'écrit :

\(\displaystyle{V(M) = \int_{\mathfrak{D}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathrm{d}q(P)}{PM}}\),

\(\mathsf{P}\) étant un point de la distribution de charges \(\mathfrak{D}\) et

- pour une distribution volumique : \(\mathrm{d}q(P) = \rho(P) \mathrm{d}\mathfrak{V}\) [ \(\rho(P)\) densité volumique de charge en \(P\) ]

- pour une distribution surfacique : \(\mathrm{d}q(P) = \sigma(P) \mathrm{d}\mathfrak{S}\) [ \(\sigma(P)\) densité surfacique de charge en \(P\) ]

- pour une distribution linéique : \(\mathrm{d}q(P) = \lambda(P) \mathrm{d}l\) [ \(\lambda(P)\) densité linéique de charge en \(P\) ]

Par analogie, le potentiel magnétostatique en un point \(\mathsf{M}\) s'écrit :

\(\displaystyle{\vec A(M) = \int_{\mathfrak{D}} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\overrightarrow{\mathrm{d} \textcircled{C}}(P)} {PM}}\),

\(\mathsf{P}\) étant un point de la distribution de courant \(\mathfrak{D}\) et

- pour un courant volumique : \(\overrightarrow{\mathrm{d}\textcircled{C}}(P) = \vec J(P)\mathrm{d}\mathfrak{V}\) [ \(\vec J(P)\) courant volumique au point \(P\) ],

- pour un courant surfacique : \(\overrightarrow{\mathrm{d}\textcircled{C}}(P)=\vec J_{\mathcal{S}}(P)\mathrm{d}\mathfrak{S}_{\mathcal{S}}\) [ \(\vec J_{\mathcal{S}}(P)\) courant surfacique au point \(P\) ]

- pour un courant linéique : \(\overrightarrow{\mathrm{d}\textcircled{C}}(P) = I \mathrm{ }\overrightarrow{\mathrm{d}l}\) [ \(\mathsf{I}\) intensité du courant ].

Cette expression n'a de signification que dans le cas d'une distribution d'extension finie (comme en électrostatique).