Méthodes de calcul du champ magnétostatique

Qu'il s'agisse de déterminer le champ magnétostatique et/ou le potentiel vecteur créés par une distribution de courant stationnaire \(\mathfrak{D}\), il convient de garder présent à l'esprit que ces grandeurs sont des vecteurs.

Avant d'effectuer le calcul de leurs composantes, il faut étudier les symétries de \(\mathfrak{D}\), ce qui permet de limiter le nombre d'intégrales à effectuer et de déterminer la topographie de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) et \(\vec A(M)\).

Cette étude doit donc être systématiquement entreprise préalablement à tout calcul du champ magnétostatique et du potentiel vecteur.

Application directe de la loi de Biot et Savart

  • On considère un élément de courant \(\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P)\), de la distribution de courant \(\mathfrak{D}\), défini autour du point \(\mathsf{P}\) de \(\mathfrak{D}\).

  • On exprime le champ élémentaire créé au point \(\mathsf{M}\) par \(\overrightarrow{\mathrm{d}C}\) :

    \(\mathrm{d}\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P) \wedge \frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3}\)

  • On explicite les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P)\) et \(\overrightarrow{PM}\) dans une même base.

  • Il faudra veiller à ce que cette base reste "fixe" au cours de l'intégration :

    \(\displaystyle{\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = \int_{\mathfrak{D}}\stackrel{\hookrightarrow}{ \mathrm{d} B}(M)~}\) ; le point \(\mathsf{M}\) est fixé et le point courant \(\mathsf{P}\) décrit \(\mathfrak{D}\).

  • Le calcul précédent se ramène généralement à celui de trois intégrales relatives à chaque composante de \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\)  :

    \(\displaystyle{B_1(M) = \int_{\mathfrak{D}} \mathrm{d}B_1(M)}\) , \(\displaystyle{~~B_2(M) = \int_{\mathfrak{D}} \mathrm{d}B_2(M)}\), \(\displaystyle{~~B_3(M) = \int_{\mathfrak{D}} \mathrm{d}B_3(M)}\),

    sauf si les symétries permettent de limiter à deux, voire parfois à une seule intégrale.

Application du théorème d'Ampère

  • Le théorème d'Ampère[1] s'exprime par la relation :

    \(\oint_{\mathcal{C}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} . \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \mu_0 \iint_{\mathfrak{S}} \vec J . \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{d}\mathfrak{S}} = \mu_0 \sum I\)

  • Parmi l'infinité de courbes fermées \(\textcircled{C}\) qui sont à notre disposition, on choisit celle qui permet d'obtenir l'expression de la circulation du champ \(\vec B(M)\) qui est inconnu.

    Pour cela :

    • \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}\) doit être parallèle ou perpendiculaire à \(\overrightarrow{\mathrm{d}l}\) sur une partie de \(\textcircled{C}\).

    • \(\mathsf{B} = \mathrm{Cte}\) sur une partie ou sur la totalité de \(\textcircled{C}\).

  • L'étude des symétries et des invariances permet de choisir la courbe \(\textcircled{C}\) qui satisfait les conditions précédentes.

  • Ainsi, bien que le théorème d'Ampère soit tout à fait général, il ne peut être utilisé que lorsque la distribution de courant \(\mathfrak{D}\) possède un haut degré de symétrie

Utilisation des équations locales

  • Si \(\vec A(M)\) est connu, soit parce qu'il est donné, soit parce qu'il a été préalablement déterminé, il suffit alors de calculer son rotationnel : \(\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec A(M) = \stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\)

  • Dans certains cas, il est possible d'utiliser la propriété de \(\vec B\) qui permet d'écrire :

    \(\mathrm{div}\vec B(M) = 0\) ou \(\oiint_{\mathfrak{S}}\vec B. \overrightarrow{\mathrm{d}\mathfrak{S}} = 0\)