Les courants stationnaires : champ et potentiel vecteur magnétostatiques

Il suffit d'intégrer l'équation de définition de \(\vec A(M)\) :

\(\vec A(M) =  \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathfrak{D}} \frac{\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P)}{PM}\)

Comme pour \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\), ce calcul se ramène à celui de trois intégrales relatives à chaque composante de \(\vec A(M)\) :

\(\displaystyle{A_1(M) = \int_{\mathfrak{D}} \mathrm{d}A_1(M)}\), \(\displaystyle{~~A_2(M) = \int_{\mathfrak{D}} \mathrm{d}A_2(M)}\), \(\displaystyle{~~A_3(M) = \int_{\mathfrak{D}} \mathrm{d}A_3(M)}\)

Toutefois, compte tenu des symétries, on est parfois ramené à deux, voire parfois à une seule intégrale.

Pour un courant volumique, \(\vec J(M)\) est connu et il suffit alors de trouver les solutions de l'équation \(\nabla^2 \vec A(M) = -\mu_0\vec J(M)\)

Si \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) est connu, soit parce qu'il est donné, soit parce qu'il a été calculé au préalable, on peut déterminer \(\vec A(M)\) à partir de la relation \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{rot}}\vec A(M)\).

Cette relation étant très souvent difficile à utiliser, on revient alors à la forme intégrale :

\(\oint_{\mathcal{C}}\vec A . \overrightarrow{\mathrm{d}l} = \iint_{\mathfrak{S}}\stackrel{\hookrightarrow}{B} \stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{d}\mathfrak{S}}\)

où le choix de \(\textcircled{C}\) s'opère de la même manière que pour l'application du théorème d'Ampère.