Force de Laplace : interaction entre deux fils rectilignes parallèles [Forces et travail en magnétostatique]

Force de Laplace : interaction entre deux fils rectilignes parallèles

Partie

Question

Soient deux fils rectilignes infinis, parcourus par les courants d'intensités $I_1$ et $I_2$ .

Tracer les lignes de champ magnétostatique pour les champs $\vec B_1$ créé par $\mathcal{D}_1$ et $\vec B_2$ créé par $\mathcal{D}_2$ .

Les forces de Laplace exercées sur les fils sont-elles attractives ou répulsives ?

Aide simple

Pour la loi de Laplace, le champ extérieur à $\mathcal{D}_1$ est le champ magnétostatique créé par $\mathcal{D}_2$ , et réciproquement.

Rappel de cours

Le produit scalaire :

$\vec A.\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} . \left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3$

Le produit vectoriel :

$\vec A\wedge\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} \wedge\left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =\left(\begin{array}{c} A_2B_3-A_3B_2\\A_3B_1-A_1B_3\\A_1B_2-A_2B_1\end{array} \right)_{\mathcal{B}}$

Les opérateurs vectoriels :

Système de repérage cartésien $\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}(\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})$

gradient : $\vec{\mathrm{grad}}U$	divergence : $\mathrm{div}\vec A$	rotationnel : $\vec{\mathrm{rot}}\vec A$
$\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial y} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}$	$\displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }$	$\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} }\end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}$

Système de repérage cylindrique $\mathcal B_{\mathrm{cyl.}}(\vec{e_r},\vec{e_{\theta}},\vec{e_z})$

gradient : $\vec{\mathrm{grad}}U$	divergence : $\mathrm{div}\vec A$	rotationnel : $\vec{\mathrm{rot}}\vec A$
$\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} }\\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}$	$\displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial (r . A_r) }{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }$	$\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_ \theta}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \left( \frac{\partial (r. A_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)} \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}$

Nom de l'outil	Comment s'énonce-t-il ?	Quand l'utiliser ?
Théorème d'Ampère	$\displaystyle{ \oint_{\mathcal C}\vec B.\vec{\mathrm{d}l}=\mu_0\sum I }$	Pour calculer $\vec B$ si la géométrie du problème permet un calcul simple de la circulation de $\vec B$ .
Loi de Biot et Savart	$\displaystyle{ \vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3} }$	Pour calculer $\vec B$ si la géométrie de la distribution ne permet pas une application simple du théorème d'Ampère.
Relation champ magnétostatique/ potentiel vecteur	$\vec{B}(M)=\vec{\mathrm{rot}}\vec A(M)$	Pour calculer $\vec B$ si $\vec A$ est connu.
Définition de la force de Laplace	$\vec{F_m}=\displaystyle{ \int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\vec B_{\mathrm{ext}}(P) }$	Pour calculer la force qui s'exerce sur une distribution $\mathcal D$ soumise à un champ magnétostatique extérieur $\vec B_{\mathrm{ext}}$
Théorème de Maxwell	$W_{2\leftarrow1}=I . \Phi_c$	Pour calculer directement le torseur des forces qui agissent sur un circuit.
Définition du potentiel vecteur	$\displaystyle{ \vec A(M)=\int_{\mathcal D}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{\mathrm{d}\mathcal C}(P)}{PM} }$	Pour calculer $\vec A$ si la distribution a un haut degré de symétrie.

Solution détaillée

Le champ magnétostatique créé par un fil conducteur infini est caractérisé par des lignes de champ circulaires, contenues dans un plan perpendiculaire au fil.
En appliquant ce résultat aux 2 fils successivement, on constate que $\vec B_1$ (créé par $\mathcal{D}_1$ ) est perpendiculaire au plan des 2 fils, et dirigé vers l'arrière de la figure au voisinage de $\mathcal{D}_2$ .

De la même manière $\vec B_2$ (créé par $\mathcal{D}_2$ ) est lui aussi perpendiculaire au plan des 2 fils, mais dirigé vers l'avant de la figure au voisinage de $\mathcal{D}_1$ .

L'application de la règle des 3 doigts à chacun des couples $(I_1, B_2)$ et $(I_2, B_1)$ permet de déterminer la direction et le sens des 2 forces qui s'avèrent être attractives.

Notons que si les courants circulaient en sens inverse l'un de l'autre, les 2 forces seraient alors répulsives.