Forces et travail en magnétostatique

Soit un dipôle magnétique de moment magnétique \(\stackrel{\hookrightarrow}{\mathcal{M}}\) placé dans un champ extérieur \(\stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}\) uniforme.

Son énergie potentielle magnétique d'interaction est : \(\mathcal{E}_m = -I \Phi\)

avec

\(\Phi=\iint_{\mathfrak{D}}\stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}.\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{d}\mathfrak{S}}=\stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}\iint_{\mathfrak{D}}\stackrel{\hookrightarrow}{\mathrm{d}\mathfrak{S}}= \stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}.\stackrel{\hookrightarrow}{\mathfrak{S}}\)

L'énergie magnétique d'interaction d'un dipôle avec un champ \(\stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}\) est : \(\mathcal{E}_m = - \stackrel{\hookrightarrow}{\mathcal{M}} . \stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}\)

Cette relation est à rapprocher de l'énergie potentielle électrostatique d'interaction d'un dipôle électrostatique avec un champ extérieur \(\vec E_{\mathrm{ext}}\), soit : \(\mathcal{E}_e = - \vec p . \vec E_{\mathrm{ext}}\).

Ainsi les calculs effectués pour un dipôle électrostatique conduisent, dans le cas d'un champ uniforme, à :

\(\stackrel{\hookrightarrow}{\mathfrak{M}} = \stackrel{\hookrightarrow}{\mathcal{M}} \wedge \stackrel{\hookrightarrow}{B_{\mathrm{ext}}}\)