Jongleur funambule sur un plan incliné
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Un funambule, initialement immobile, se laisse glisser sur un fil tendu dans une direction inclinée par rapport au sol horizontal et déterminée par le vecteur unitaire \(\vec{u}\). Il effectue en même temps un numéroïde jonglerie avec plusieurs balles.
En considérant le jongleur et les balles comme des points matériels et en raisonnant par rapport au référentiel galiléen lié à la Terre, examinez comment le jongleur doit s'y prendre pour réussir son numéro.
Plus précisément, et si on admet que les forces de frottement avec l'air sont négligeables, déterminez dans quelle direction il doit lancer chaque balle pour pouvoir la récupérer un instant plus tard sans modifier son mouvement.
Expliquez pourquoi la vitesse initiale \(|\vec{V_0}|\) des balles n'est pas un facteur déterminant de la réussite et calculez la durée de vol \(T\) entre l'instant où une balle est lancée et l'instant où elle est réceptionnée. Interprétez l'expression de \(T\).
Solution
Supposons qu'à l'instant \(t = 0\), le funambule immobile au point \(O\) lance une balle avec une vitesse initiale \(\vec{V_0}\).
Tout point matériel soumis à l'action de la pesanteur et astreint à se déplacer dans la direction de \(\vec{u}\), subit une accélération uniforme égale à la composante suivant \(\vec{u}.(\vec{g}.\vec{u})\vec{u}\), de l'accélération de la pesanteur \(\vec{g}\).
La position \(F\) du funambule sur le fil incliné, à un instant ultérieur \(t>0\), est ainsi déterminée par \(\vec{OF}(t)=(\vec{g}.\vec{u})\vec{u}\frac{t^2}{2}\)
(1 point)
et la position \(B\) de la balle, dont les déplacements sont libres, est déterminée à un instant ultérieur, \(t > 0\), par \(\vec{OB}(t)=\vec{g}\frac{t^2}{2}+\vec{V_0}t\)
(1 point)
Une condition nécessaire et suffisante pour que la balle retombe dans les mains du funambule est que les points \(B\) et \(F\) coïncident à un instant \(T\) : cela se traduit par la relation,
\(\vec{FB}(T)=\vec{OB}(T)-\vec{OF}(T)=(\vec{g}-(\vec{g}.\vec{u})\vec{u})\frac{T^2}{2}+\vec{V_0}T=\vec{0}\).
(1 point)
On reconnaît dans \((\vec{g}-(\vec{g}.\vec{u})\vec{u})\) l'expression d'un vecteur appartenant au plan vertical passant par le fil tendu et, plus précisément, la composante de \(\vec{g}\) perpendiculaire à \(\vec{u}\).
(2 points)
Si on appelle \(\vec{g_\perp}\) cette composante, la relation précédente devient \(\vec{g_\perp}\frac{T}{2}+\vec{V_0}=\vec{0}\).
(1 point)
Elle montre que pour réussir son numéro, il suffit au funambule de lancer sa balle, par rapport au référentiel lié à la Terre, dans le plan vertical passant par le fil tendu, dans la direction perpendiculaire au fil qui est celle de \(\vec{g_\perp}\),
(1 point)
et elle permet de déterminer le temps de vol \(T=-\frac{2V_0}{g_\perp}\).
(1 point)
La vitesse de la balle à l'instant \(t\) est \(\vec{V}(t)=\vec{g}t+\vec{V_0}\), et sa projection dans la direction de \(\vec{V_0}\) est \(\frac{\vec{V_0}.\vec{V}(t)}{V_0}=\frac{\vec{V_0}.\vec{g}t}{V_0}+V_0\)
En remarquant que \(g_\perp=\frac{\vec{V_0}.\vec{g}}{V_0}\)
on vérifie qu'à l'instant \(\frac{T}{2}\),cette projection s'annule, ce qui indique que la balle se trouve à la distance maximale du fil.
(2 points)