Systèmes centrés

Un système pourra toujours être considéré comme formé uniquement de dioptres (plans ou sphériques) séparant des milieux d'indices n, n₁, n₂,...,n_n,...,n', chacun étant considéré dans les conditions de Gauss ^[1].

Si l'on considère un objet AB dans un plan de front ^[3]avec A situé sur l'axe, on obtient les images successives A₁B₁, A₂B₂, A_nB_n et finalement A'B' à travers les différents dioptres.

Ainsi un rayon passant par A passera successivement par les points A₁, A₂, A_n et A' en vérifiant pour chacun des dioptres traversés la relation de Lagrange-Helmholtz :

$\mathrm n~.~\overline{\mathrm{AB}}~.~\mathrm u=\mathrm n_1~.~\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}~.~\mathrm u_1=\mathrm n_2~.~\overline{\mathrm A_2\mathrm B_2}~.~\mathrm u_2=~...~=\mathrm n_{\mathrm n}~.~\overline{\mathrm A_{\mathrm n}\mathrm B_{\mathrm n}}~.~\mathrm u_{\mathrm n}=~...~=\mathrm n{\mathrm'}~.~\overline{\mathrm A{\mathrm'}\mathrm B{\mathrm'}}~.~\mathrm u{\mathrm'}$

D'où la relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet AB et son image A'B' :

$\mathrm n~.~\overline{\mathrm{AB}}~.~\mathrm u=\mathrm n{\mathrm'}~.~\overline{\mathrm A{\mathrm'}\mathrm B{\mathrm'}}~.~\mathrm u{\mathrm'}$