Question 4
Durée : 6 mn
Note maximale : 8
Question
Déterminer les dimensions des coefficients \(K\) et \((-G)\) intervenant ( sous une analogie formelle) entre:
a. forces d'interaction électrostatiques s'exerçant entre deux charges ponctuelles: \(\vec{F}_{1\to2} = K \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} \vec{u}_{1\to2}\)
b. forces d'interaction gravitationnelles s'exerçant entre deux masses ponctuelles: \(\vec{F}_{1\to2} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} \vec{u}_{1\to2}\)
Solution
a. Le coefficient \(K\) s'écrit : \(K = Fr^{2} / (q_1q_2),~ \dim K = \dim (Fr^2) / \dim (q_1q_2)\) or comme
\(\dim (Fr^2) = \dim F × \dim (r^2) = L^3MT^{-2}\)
et
\(\dim (q_1q_2) = (TI)^2\)
donc \(\dim K = L^3MT^{-2} / T^2I^2 = L^3MT^{-4}I^{-2}\) ( 4 points )
b. Le coefficient \((-G)\) s'écrit : \(-G = Fr^2 / m_ 1m_ 2\) , comme \(\dim (m_1m_2) = M^2\), on en déduit:
\(\dim (-G) = \dim (Fr^2) / \dim (m_1m_2) = L^3MT^{-2}/M^2 = L^{3}M^{-1}T^{-2}\) ( 4 points )
Remarque :
Le coefficient \(K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\) permet de retrouver \(\dim \varepsilon_{0} = \frac{1}{\dim K} = L^{-3} M^{-1} T^{4} I^{2}\)
Le coefficient \(G\) est la constante de gravitation \(G = \mathrm{6,67260}.10^{-11} \textrm{ m}^3\textrm{kg}^{-1}\textrm{s}^{-2}\)