Vecteurs

Etant donnés les points $A$ et $B$, déterminer un point $M$ tel que : $2~ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 3~ \overrightarrow{AB}$

En prenant l'origine en $A$, exprimons $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB}$

d'où

$2 ~\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\bigg(- \overrightarrow{AM}\bigg) + \bigg( -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB}\bigg) = -3 \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AB}$

$-3~ \overrightarrow{AM} = 2 ~\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = - \frac{2}{3}~ \overrightarrow{AB}$

Étant donnés les deux vecteurs de base $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$, déterminons le vecteur $\overrightarrow{W}$, combinaison linéaire de $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$: $\overrightarrow{W} = 2 ~\overrightarrow{U} - 3~ \overrightarrow{V}$

Les vecteurs $\overrightarrow{U} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)$, $\overrightarrow{V} = \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ et $\overrightarrow{W} = \left( \begin{array}{ccc} 12 \\ -5 \\ -17 \end{array} \right)$ sont-ils coplanaires ?

Les vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ n'étant pas colinéaires, cherchons si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{W} =\alpha \overrightarrow{U} + \beta \overrightarrow{V}$

or

$\left( \begin{array}{ccc} 12 \\ -5 \\ -17 \end{array} \right) = \alpha \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) + \beta  \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lll} 12 = \alpha - 2 \beta \\ -5 = \beta \\ -17 = - \alpha + 3 \beta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lll} \alpha = 2 \\ \beta = -5 \end{array} \right.$

$\overrightarrow{W} = 2 \overrightarrow{U} - 5 \overrightarrow{V}$

Une charge $Q$ ($>0$ ou $<0$) crée en un point $M$ de l'espace un champ électrostatique $\overrightarrow{E_{M}}$. Une charge ponctuelle $q$ ($>0$ ou $<0$) placée en $M$ subira une force $\overrightarrow{F_{M}}$ dont le sens dépendra des signes des charges $Q$ et $q$. Déterminer le sens de $\overrightarrow{F_{M}}$.

Par définition : $\overrightarrow{F_{M}} = q ~\overrightarrow{E_{M}}$

Pour visualiser le champ et la force, cliquez sur la charge $Q$.

$1^{\textrm{er}}\textrm{ cas} : Q > 0, ~q > 0$

$2^{\textrm{\`eme}}\textrm{ cas} : Q > 0, ~q < 0$

$3^{\textrm{\`eme}}\textrm{ cas} : Q < 0, ~q > 0$

$4^{\textrm{\`eme}}\textrm{ cas} : Q < 0, ~q < 0$

Conservation de la quantité de mouvement lors du recul d'une arme à feu.

L'ensemble (arme - projectile) forme le système.

Avant la mise à feu : la quantité de mouvement est nulle.

Après la mise à feu : la somme des quantités de mouvements doit rester nulle.

d'où : $M ~\overrightarrow{v} + m~ \overrightarrow{V} = \overrightarrow{0}$

la vitesse de recul de l'arme à feu : $\overrightarrow{v} = - \frac{m}{M}~ \overrightarrow{V}$