Multiplication d'un vecteur par un scalaire

Définition

Le produit d'un vecteur \(\overrightarrow{V}\) par un scalaire \(\alpha\) est un vecteur, noté \(\alpha~ \overrightarrow{V}\), tel que :

  • sa direction est celle de \(\overrightarrow{V}\)

  • son sens : celui de \(\overrightarrow{V}\) si \(\alpha > 0\), celui \(- \overrightarrow{V}\) de si \(\alpha < 0\).

  • sa norme est égale au produit de celle de \(\overrightarrow{V}\) par la valeur absolue de \(\alpha\) : \(\big\Arrowvert \alpha \overrightarrow{V} \big\Arrowvert = | \alpha | \big\Arrowvert \overrightarrow{V} \big\Arrowvert\)

ExempleProduit d'un vecteur par un scalaire

Propriété

La multiplication d'un vecteur par un scalaire est une loi de composition externe vérifiant les propriétés :

Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : \(\alpha \bigg(\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V}\bigg) = \alpha \overrightarrow{U} + \alpha \overrightarrow{V}\)

Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : \(\bigg(\alpha + \beta \bigg) \overrightarrow{U} = \alpha \overrightarrow{U} + \beta \overrightarrow{U}\)

Associativité : \(\alpha \bigg(\beta \overrightarrow{U}\bigg) = \bigg( \alpha \beta \bigg) \overrightarrow{U}\)

Elément neutre : \(1 \overrightarrow{U} = \overrightarrow{U}\)

Applications

  • En géométrie

\(\qquad\) Détermination d'un point \(M\) sur une droite \(AB\) satisfaisant une relation vectorielle

ExemplePosition d'un point sur une droite

Etant donnés les points \(A\) et \(B\), déterminer un point \(M\) tel que : \(2~ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 3~ \overrightarrow{AB}\)

En prenant l'origine en \(A\), exprimons \(\overrightarrow{AM}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB}\)

d'où

\(2 ~\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\bigg(- \overrightarrow{AM}\bigg) + \bigg( -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB}\bigg) = -3 \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AB}\)

\(-3~ \overrightarrow{AM} = 2 ~\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = - \frac{2}{3}~ \overrightarrow{AB}\)

\(\qquad\) Combinaison linéaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\) du plan.

ExempleCombinaison linéaire de deux vecteurs

Étant donnés les deux vecteurs de base \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\), déterminons le vecteur \(\overrightarrow{W}\), combinaison linéaire de \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\): \(\overrightarrow{W} = 2 ~\overrightarrow{U} - 3~ \overrightarrow{V}\)

\(\qquad\) Reconnaître si trois vecteurs \(\overrightarrow{U}\), \(\overrightarrow{V}\) et \(\overrightarrow{W}\) sont coplanaires.

ExempleVecteurs coplanaires

Les vecteurs \(\overrightarrow{U} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)\), \(\overrightarrow{V} = \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)\) et \(\overrightarrow{W} = \left( \begin{array}{ccc} 12 \\ -5 \\ -17 \end{array} \right)\) sont-ils coplanaires ?

Les vecteurs \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\) n'étant pas colinéaires, cherchons si il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{W} =\alpha \overrightarrow{U} + \beta \overrightarrow{V}\)

or

\( \left( \begin{array}{ccc} 12 \\ -5 \\ -17 \end{array} \right) = \alpha \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) + \beta  \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lll} 12 = \alpha - 2 \beta \\ -5 = \beta \\ -17 = - \alpha + 3 \beta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lll} \alpha = 2 \\ \beta = -5 \end{array} \right.\)

\(\overrightarrow{W} = 2 \overrightarrow{U} - 5 \overrightarrow{V}\)

  • En Physique

\(\qquad\) Force \(\overrightarrow{F}\) subie sur une charge \(q\) dans un champ électrostatique \( \overrightarrow{E}\)

ExempleIntéraction entre deux charges éléctriques

Une charge \(Q\) (\(>0\) ou \(<0\)) crée en un point \(M\) de l'espace un champ électrostatique \(\overrightarrow{E_{M}}\). Une charge ponctuelle \(q\) (\(>0\) ou \(<0\)) placée en \(M\) subira une force \(\overrightarrow{F_{M}}\) dont le sens dépendra des signes des charges \(Q\) et \(q\). Déterminer le sens de \(\overrightarrow{F_{M}}\).

Par définition : \(\overrightarrow{F_{M}} = q ~\overrightarrow{E_{M}}\)

Pour visualiser le champ et la force, cliquez sur la charge \(Q\).

\(1^{\textrm{er}}\textrm{ cas} : Q > 0, ~q > 0\)

\(2^{\textrm{\`eme}}\textrm{ cas} : Q > 0, ~q < 0\)

\(3^{\textrm{\`eme}}\textrm{ cas} : Q < 0, ~q > 0\)

\(4^{\textrm{\`eme}}\textrm{ cas} : Q < 0, ~q < 0\)

\(\qquad\) Conservation de la quantité de mouvement

ExempleConservation de la quantité de mouvement

Conservation de la quantité de mouvement lors du recul d'une arme à feu.

L'ensemble (arme - projectile) forme le système.

Avant la mise à feu : la quantité de mouvement est nulle.

Après la mise à feu : la somme des quantités de mouvements doit rester nulle.

d'où : \(M ~\overrightarrow{v} + m~ \overrightarrow{V} = \overrightarrow{0}\)

la vitesse de recul de l'arme à feu : \(\overrightarrow{v} = - \frac{m}{M}~ \overrightarrow{V}\)