Vecteurs

Module du vecteur $\overrightarrow{V}\Big(2,-3,6 \Big)$

Par définition de $\overrightarrow{V} \Big(V_{x},V_{y},V_{z}\Big)$, nous avons la norme de $\overrightarrow{V}$:

$\begin{array}{ll}\Arrowvert \overrightarrow{V} \Arrowvert & = \sqrt{V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2}} \\ & = \sqrt{2^{2} + (-3)^{2} + (6)^{2}} \\ &=\sqrt{4+9+36} \\ &= \sqrt{49} = 7 \end{array}$

Distance entre les points $M(-2,1,3)$ et $N(1,4,-2)$

Par définition :

$\begin{array}{ll} d(M,N) & = MN \\ & = \sqrt{(1-(-2))^{2} + (4-1)^{2} + (-2-3)^{2}} \\ &=\sqrt{9+9+25} \\ &= \sqrt{43}\end{array}$

Détermination du cosinus de l'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{U}\Big(0,-3,-3 \Big)$ et $\overrightarrow{V}\Big(1,-2,-1 \Big)$

Par application du produit scalaire : $\cos\Big(\overrightarrow{U} , \overrightarrow{V}\Big) = \frac{\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V}}{\Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert~\Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert}$

or

$\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V} = \Big(0\Big) \Big(1\Big) + \Big(-3\Big)\Big(-2\Big) + \Big(-3\Big)\Big(-1\Big) = 9$

$\Arrowvert\overrightarrow{U}\Arrowvert = \sqrt{(-3)^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

$\Arrowvert\overrightarrow{V}\Arrowvert = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{6}$

d'où $\cos\Big(\overrightarrow{U} , \overrightarrow{V}\Big) = \frac{9}{3\sqrt{2}\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Déterminer l'angle intérieur à un sommet d'un triangle

On considère un triangle de sommets $A(-4,-2,0)$ ; $B(-1,-2,4)$ et $C(9,-2,-1)$ dans un repère orthonormé. Déterminer l'angle intérieur au sommet $A$.

Relation du triangle :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc ~\cos \hat{A} \Rightarrow \cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$

avec

$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \left| \begin{array}{c} 9 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right. - \left| \begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right. = \left| \begin{array}{c} 13 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right. \Rightarrow b^{2} = 13^{2} + 1^{2} = 170$

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \left| \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right. - \left| \begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right. = \left| \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right. \Rightarrow c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \left| \begin{array}{c} 9 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right. - \left| \begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right. = \left| \begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ -5 \end{array} \right. \Rightarrow a^{2} = 10^{2} + (-5)^{2} = 125$

d'où

$\cos \hat{A} = \frac{170 + 25 - 125}{2\sqrt{170} \times 5} = \frac{7}{\sqrt{170}} \Rightarrow \hat{A} \# \frac{\pi}{3} ~\Big(57^{\circ}53\Big)$