Question 1 [Vecteurs]

Question 1

Durée : 6 mn

Note maximale : 12

Question

L'espace est orienté par le repère orthonormé direct \(\left(O; \vec{i},\vec{j},\vec{k} \right)\), on donne les vecteurs :

\(\overrightarrow{V_{1}} = (1,1,1) \quad \overrightarrow{V_{2}} = (0,1,2) \quad \overrightarrow{V_{3}} = (3,0,0)\)

Calculer : \(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}} \right)\) et \(\left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}} \right) \wedge \overrightarrow{V_{3}}\). Conclure.

Solution

Par définition des produits vectoriels, nous avons :

\(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}} = 6 \vec{j} - 3 \vec{k}\) ( 2 points )

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}} =\vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}\) ( 2 points )

d'où

\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}} \right) = -9 \vec{i} + 3 \vec{j} + 6 \vec{k}\) ( 2 points )

\(\left(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \overrightarrow{V_{2}} \right) \wedge \overrightarrow{V_{3}} = 3 \vec{j} + 6 \vec{k}\) ( 2 points )

Conclusion : le produit vectoriel n'est pas associatif. ( 4 points )