Question 2
Durée : 6 mn
Note maximale : 8
Question
Vérifier la relation du double produit vectoriel :
\(\overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}} \right) = \left(\overrightarrow{V_{1}} \cdot \overrightarrow{V_{3}} \right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \cdot \overrightarrow{V_{2}} \right) \overrightarrow{V_{3}}\)
Solution
Calculons le second membre de l'égalité :
\(\left(\overrightarrow{V_{1}} \cdot \overrightarrow{V_{3}} \right) \overrightarrow{V_{2}} = \Big[\Big(1,1,1\Big) \cdot \Big(3,0,0\Big) \Big] \overrightarrow{V_{2}} = 3 \overrightarrow{V_{2}}\) ( 2 points )
\(\left(\overrightarrow{V_{1}} \cdot \overrightarrow{V_{2}} \right) \overrightarrow{V_{3}} = \Big[\Big(1,1,1\Big) \cdot \Big(0,1,2\Big) \Big] \overrightarrow{V_{3}} = 3 \overrightarrow{V_{3}}\) ( 2 points )
d'où :
\(\begin{array}{ll}\left(\overrightarrow{V_{1}} \cdot \overrightarrow{V_{3}} \right) \overrightarrow{V_{2}} - \left(\overrightarrow{V_{1}} \cdot \overrightarrow{V_{2}} \right) \overrightarrow{V_{3}} & = 3 \left(\overrightarrow{V_{2}} - \overrightarrow{V_{3}} \right) \\\\ & = 3 \Big[\Big(0,1,2 \Big) - \Big(3,0,0\Big) \Big] = 3 \Big[-3,1,2 \Big] \\\\ & = -9 \vec{i} + 3 \vec{j} + 6 \vec{k} \\\\ & = \overrightarrow{V_{1}} \wedge \left(\overrightarrow{V_{2}} \wedge \overrightarrow{V_{3}} \right) \end{array}\)
( 4 points )
La relation est vérifiée