Vecteurs

Par définition, le moment cinétique en \(O\) du point \(M\) est :

\(\begin{array}{ll}\overrightarrow{L_{0}} & = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p} \\ & = \overrightarrow{OM} \wedge m \overrightarrow{v} \end{array}\) ( 2 points )

\(\begin{array}{ll}&=\left(\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HM}\right) \wedge m \left(- r \omega \left(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k}\right)\right) \\ & = -mr~\omega \left[\left(r \overrightarrow{u} + z \overrightarrow{k} \right) \wedge \left(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k} \right)\right] \end{array}\)

\(\begin{array}{ll} &= -mr~\omega \left[r \overrightarrow{u} \wedge \left( \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k} \right) + z\overrightarrow{k}\wedge \left(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k} \right)\right] \end{array}\) ( 4 points )

( D'après la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle).

La définition du double produit vectoriel : \(\overrightarrow{A} \wedge \left(\overrightarrow{B} \wedge \overrightarrow{C}\right) = \left(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C}\right) \overrightarrow{B} - \left(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} \right)\overrightarrow{C}\) conduit à

\(\overrightarrow{u} \wedge \left(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k}\right) = \left(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{k}\right) \overrightarrow{u} - \left(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} \right)\overrightarrow{k} = - \overrightarrow{k}\) ( 2 points )

\(\overrightarrow{k} \wedge \left(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{k}\right) = \left(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}\right) \overrightarrow{u} - \left(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{u} \right)\overrightarrow{k} =  \overrightarrow{u}\) ( 2 points )

donc

\(\overrightarrow{L_{0}} = - mr ~\omega \left(-r \overrightarrow{k} + z \overrightarrow{u} \right)\)

\(\overrightarrow{L_{0}} = mr^{2} \omega \overrightarrow{k} - mrz ~\omega \overrightarrow{u}\) ( 4 points )