Nombres complexes

En cherchant une solution particulière sous la forme $\underline{z}(t) = \underline{A}e^{j \omega t}$ nous avons :

$\underline{z}'(t) = j \omega ~\underline{A} ~e^{j \omega t}$ ( 1 point ) et $\underline{z}''(t) = j^{2} \omega^{2} \underline{A} e^{j \omega t} = - \omega^{2} \underline{A} e^{j \omega t}$ ( 1 point ) d'où :

$\left(-a \omega^{2} + j b \omega +c \right) \underline{A}e^{j \omega t} = k e^{j \omega t}$

après simplification :

$\left[\left(c-a\omega^{2}\right)+jb\omega\right] \underline{A} = k$

cette équation est de la forme $\underline{B} \cdot \underline{A} = k$ avec $\underline{B} = B e^{j \theta}$

où $B = \left[\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+b^{2}\omega^{2}\right]^{1/2}$ et $\theta = \textrm{Arctan} \left(\frac{b \omega}{c-a \omega^{2}}\right)$

puis $\underline{A} = A e^{j \varphi}$ et $\underline{k} = k e^{j 0} = k$ . De la relation $\underline{B} \cdot \underline{A} = \underline{k}$ nous tirons :

$\arrowvert \underline{B}\arrowvert \cdot \arrowvert \underline{A}\arrowvert = \arrowvert \underline{k}\arrowvert \Rightarrow B \cdot A = k \Rightarrow$

$A = \frac{k}{\left(\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+b^{2}\omega^{2}\right)^{1/2}}$ ( 4 points )

$\arg\left(\underline{B}\right)+\arg\left(\underline{A}\right) = \arg\left(\underline{k}\right)\Rightarrow \theta + \varphi = 0 \Rightarrow$

$\varphi = - \theta = - \textrm{Arctan} \left(\frac{b \omega}{c - a \omega^{2}}\right)$ ( 4 points )