En cherchant une solution particulière sous la forme \underline{z}(t) = \underline{A}e^{j \omega t} nous avons :
\underline{z}'(t) = j \omega ~\underline{A} ~e^{j \omega t} ( 1 point ) et \underline{z}''(t) = j^{2} \omega^{2} \underline{A} e^{j \omega t} = - \omega^{2} \underline{A} e^{j \omega t} ( 1 point ) d'où :
\left(-a \omega^{2} + j b \omega +c \right) \underline{A}e^{j \omega t} = k e^{j \omega t}
après simplification :
\left[\left(c-a\omega^{2}\right)+jb\omega\right] \underline{A} = k
cette équation est de la forme \underline{B} \cdot \underline{A} = k avec \underline{B} = B e^{j \theta}
où B = \left[\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+b^{2}\omega^{2}\right]^{1/2} et \theta = \textrm{Arctan} \left(\frac{b \omega}{c-a \omega^{2}}\right)
puis \underline{A} = A e^{j \varphi} et \underline{k} = k e^{j 0} = k . De la relation \underline{B} \cdot \underline{A} = \underline{k} nous tirons :
\arrowvert \underline{B}\arrowvert \cdot \arrowvert \underline{A}\arrowvert = \arrowvert \underline{k}\arrowvert \Rightarrow B \cdot A = k \Rightarrow
A = \frac{k}{\left(\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+b^{2}\omega^{2}\right)^{1/2}} ( 4 points )
\arg\left(\underline{B}\right)+\arg\left(\underline{A}\right) = \arg\left(\underline{k}\right)\Rightarrow \theta + \varphi = 0 \Rightarrow
\varphi = - \theta = - \textrm{Arctan} \left(\frac{b \omega}{c - a \omega^{2}}\right) ( 4 points )