Nombres complexes

Dans le cas d'un régime sinusoïdal \((b = 0)\) nous obtenons l'équation différentielle :\(a~ \underline{z}''(t) + c \underline{z}(t) = k e^{j \omega t}\). La pulsation propre du système étant \(\omega_{0}^{2} = \frac{c}{a}\). Les expressions de \(A\) et \(\varphi\) seront suivant les cas :

\(\omega \ne \omega_{0} \Rightarrow c - a \omega^{2} \ne 0\)

\(A = \frac{k}{c-a \omega^{2}}\) et \(\varphi = 0\) (2 + 2 points )

\(\omega = \omega_{0} \Rightarrow c- a \omega^{2} = 0\)

\(A  \to \infty\) et \(\varphi\) est une forme indéterminée\( 0 / 0\) ( 2 + 2 points )

Ceci résulte du fait, que dans ce cas, nous devons chercher une solution particulière de la forme \(\underline{z}(t) = A e^{j(\omega t + \varphi)}\) car \(\omega\) est racine de l'équation caractéristique de l'équation sans second membre. ( 2 points )