Forme algébrique d'un nombre complexe
Partie
Question
Représenter, dans le plan complexe, les images \(M_{i}\) des nombres complexes \(\underline{Z_{i}}\) suivants :
\(\underline{Z_{1}} = 2 ;~ \underline{Z_{2}} = -3 ;~ \underline{Z_{3}} = +4j ;~ \underline{Z_{4}} = -j\)
\(\underline{Z_{5}} = -2-3j ;~ \underline{Z_{6}} = 3+4j ;~ \underline{Z_{7}} = -1+2j ;~ \underline{Z_{8}} =3 -j\)
Aide simple
Représenter l'axe des réels ( axe \(Ox\)) et l'axe des imaginaires (axe \(Oy\)) de ce plan complexe .
Aide détaillée
Les images des nombres complexes \(\underline{Z_{1}},~\underline{Z_{2}},~\underline{Z_{3}}\) et \(\underline{Z_{4}}\) sont situées sur les axes et celles des nombres complexes \(\underline{Z_{5}},~\underline{Z_{6}},~\underline{Z_{7}}\) et \(\underline{Z_{8}}\) dans chacun des quadrants du plan complexe.
Question
A partir des nombres complexes \(\underline{Z_{i}}\) de la question précédente ,mettre sous la forme
Algébrique \((a+jb)\) chacun des nombres complexes suivants :
\(\underline{Z_{1}} = \underline{z_{3}} + \underline{z_{5}}\) ; \(\underline{Z_{2}} = \underline{z_{4}} - \underline{z_{6}}\) ; \(\underline{Z_{3}} = \underline{z_{5}} \cdot \underline{z_{6}}\) ; \(\underline{Z_{4}} = \underline{z_{5}}^{3}\)
\(\underline{Z_{5}} = \frac{1}{\underline{z_{3}}}\) ; \(\underline{Z_{6}} = \frac{1}{\underline{z_{6}}}\) ; \(\underline{Z_{7}} = \frac{\underline{z_{4}}}{\underline{z_{7}}}\); \(\underline{Z_{8}} = \frac{\underline{z_{4}}}{\underline{z_{8}}}\)
Aide simple
La somme (ou différence ) de plusieurs nombres complexes est un nombre complexe ayant pour partie réelle la somme (ou différence) des parties réelles et pour partie imaginaire la somme (ou différence ) des parties imaginaires .
Aide détaillée
Pour le produit de nombres complexes on remplacera \(j^{2}\) par \(-1\).
Pour le quotient de nombres complexes on multipliera le dénominateur par sa partie conjuguée.
Solution simple
Après calcul nous obtenons :
\(\underline{Z_{1}} = -2+j\) ; \(\underline{Z_{2}} = -3-5j\) ; \(\underline{Z_{3}} = 6 - 17j\) ; \(\underline{Z_{4}} = 46-9j\)
\(\underline{Z_{5}} = \frac{-j}{4}\) ; \(\underline{Z_{6}} = \frac{1}{25}(3-4j)\) ; \(\underline{Z_{7}} = \frac{-2+j}{5}\) ; \(\underline{Z_{8}} = \frac{-1+j}{2}\)
Solution détaillée
Nous obtenons les résultats suivants :
\(\underline{Z_{1}} =\underline{z_{3}}+\underline{z_{5}} = (+4j) + (-2-3j) = -2+j\)
\(\underline{Z_{2}} =\underline{z_{4}}-\underline{z_{6}} = (-j)-(3+4j) = -3-5j\)
\(\underline{Z_{3}} =\underline{z_{5}}\cdot\underline{z_{6}}=(-2-3j)(3+4j)=-(6+9j+8j-12)=6-17j\)
\(\underline{Z_{4}} =\underline{z_{5}}^{3} = (-2-3j)^{3} = -(8+36j-54-27j)=46-9j\)
\(\underline{Z_{5}} =\frac{1}{\underline{z_{3}}} = \frac{1}{4j} = \frac{j}{4j^{2}} = -\frac{j}{4}\)
\(\underline{Z_{6}} =\frac{1}{\underline{z_{6}}} = \frac{1}{(3+4j)} = \frac{(3-4j)}{(3+4j)(3-4j)} = \frac{1}{25}(3-4j)\)
\(\underline{Z_{7}} =\frac{\underline{z_{4}}}{\underline{z_{7}}} = \frac{-j}{-1+2j} = \frac{-j(-1-2j)}{(-1+2j)(-1-2j)} = \frac{j(1+2j)}{5} = \frac{-2+j}{5}\)
\(\underline{Z_{8}} =\frac{\underline{z_{7}}}{\underline{z_{8}}} = \frac{-1+2j}{3-j} = \frac{(-1+2j)(3+j)}{(3-j)(3+j)} = \frac{-5+5j}{10} = \frac{-1+j}{2}\)
Question
Soient \(\underline{z}\) et \(\underline{z}'\) deux nombres complexes de module \(1\) et a un nombre réel .
Posons \(\underline{Z} = \underline{z} + \underline{z'} + a\underline{z} \underline{z}' + 1\) et \(\underline{Z}' = \underline{z} + \underline{z}'+ \underline{z}\underline{z}' + a\)
Montrer que \(\underline{Z} = \underline{z}\underline{z}' {\underline{Z}'}^{\ast}\) et que \(\left\arrowvert \underline{Z} \right\arrowvert = \left\arrowvert {\underline{Z}'}^{\ast} \right\arrowvert\)
Aide simple
Déterminer le conjugué \({\underline{Z}'}^{\ast}\) de \(\underline{Z}' = \underline{z} + \underline{z}' + \underline{z}\underline{z}' + a\) en tenant compte des propriétés de la conjugaison .
Aide détaillée
Utiliser les propriétés de la conjugaison pour la somme et le produit de nombres complexes à savoir :
\((\underline{z} + \underline{z}')^{\ast} = \underline{z}^{\ast} + {\underline{z}'}^{\ast} \qquad (\underline{z} \underline{z}')^{\ast} = \underline{z}^{\ast}{\underline{z}'}^{\ast}\)
Solution détaillée
Calcul du conjugué de :\(\underline{Z}'\)
\({\underline{Z}'}^{\ast} = (\underline{z} + \underline{z}' + \underline{z}\underline{z}' + a)^{\ast} = \underline{z}^{\ast} + {\underline{z}'}^{\ast} +(\underline{z}\underline{z}')^{\ast} + a^{\ast} = \underline{z}^{\ast} + {\underline{z}'}^{\ast} + \underline{z}^{\ast} {\underline{z}'}^{\ast} + a \qquad (a \in \mathbb{R})\)
Exprimons : \(\underline{z} \underline{z}' {\underline{Z}'}^{\ast} = \underline{z}\underline{z}'(\underline{z}^{\ast} + {\underline{z}'}^{\ast} + \underline{z}^{\ast}{\underline{z}'}^{\ast}+a)\)
\(=\underline{z} \underline{z}^{\ast} \underline{z}' + \underline{z}\underline{z}'{\underline{z}'}^{\ast} + \underline{z}\underline{z}^{\ast}\underline{z}'{\underline{z}'}^{\ast} + a \underline{z}\underline{z}'\)
\(= \underline{z}^{\ast} + \underline{z} + 1 + a \underline{z} \underline{z}' = \underline{Z}\)
(sachant que \(\underline{z}\underline{z}^{\ast} = \underline{z}'{\underline{z}'}^{\ast} = 1\)) d'où \(\underline{Z} = \underline{z} \underline{z}' {\underline{z}'}^{\ast}\)
Calculons \(\arrowvert\underline{Z}\arrowvert\) et montrons que \(\left\arrowvert \underline{Z} \right\arrowvert = \left\arrowvert {\underline{Z}'}^{\ast} \right\arrowvert\)
\(\left\arrowvert\underline{Z}\right\arrowvert = \Bigg\arrowvert\underline{z} \underline{z}' {\underline{Z}'}^{\ast}\Bigg\arrowvert = \big\arrowvert\underline{z}\big\arrowvert \Big\arrowvert\underline{z}'\Big\arrowvert\Bigg\arrowvert{\underline{Z}'}^{\ast}\Bigg\arrowvert =1 \cdot 1 \Bigg\arrowvert{\underline{Z}'}^{\ast}\Bigg\arrowvert = \Bigg\arrowvert{\underline{Z}'}^{\ast}\Bigg\arrowvert\)
et \(\left\arrowvert \underline{Z} \right\arrowvert = \left\arrowvert {\underline{Z}'}^{\ast} \right\arrowvert\)