Formule de Moivre - Formules d'Euler
Partie
Question
Calculer ,en utilisant la formule de Moivre , \(\cos 4 x\) et \(\frac{1}{4}\sin 3x\) respectivement en fonction des puissances de \(\cos x\) et de \(\sin x\) .
Aide simple
Pour \(x\in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{Z}^{\ast}\),la formule de Moivre conduit à \((\cos x + j \sin x)^{n} = \cos nx + j \sin n x\)
Aide détaillée
Appliquer la formule de Moivre et prendre la partie réelle de \((\cos x + j \sin x)^{4}\) pour
\(\cos 4x\) et la partie imaginaire de \((\cos x + j \sin x)^{3}\) pour \(\sin 3x\) .
Solution simple
Après calcul :
\(\cos 4x = \Re (\cos x + j \sin x)^{4} = 8 \cos^{4}x - 8 \cos^{2}x + 1\)
\(\sin 3x = \Im (\cos x + j \sin x)^{3} = -4 \sin^{3}x + 3 \sin x\)
Solution détaillée
Utilisons la formule du binôme de Newton pour les calculs de \(\cos 4x\) et de \(\sin 3x\)
\(\cos 4x = \Re ( \cos x + j \sin x)^{4} = \Re \left[\cos^{4}x + 4 \cos^{3}x(j \sin x) + 6 \cos^{2} x\left(j^{2} \sin^{2}x\right) + 4 \cos x \left(j^{3}\sin^{3}x\right) + j^{4} \sin^{4}x\right]\)
\(= \Re \left[\cos^{4}x - 6 \cos^{2} x \sin^{2}x + \sin^{4}x + j(4\cos^{3}x \sin x - 4 \cos x \sin^{3}x)\right]\)
d'où \(\cos 4x = \cos^{4}x - 6\cos^{2}x(1-\cos^{2}x)+(1-\cos^{2}x)^{2}\)
\(= \cos^{4}x-6 \cos^{2}x+6\cos^{4}x+1-2\cos^{2}x+\cos^{4}x\)
\(\cos 4x = 8 \cos^{4}x-8\cos^{2}x+1\)
\(\sin 3x = \Im (\cos x + j \sin x)^{3} = \Im [\cos^{3} x + 3 \cos^{2}x(j \sin x) + 3 \cos x(j^{2}\sin^{2}x) + j^{3} \sin^{3} x] = \Im [\cos^{3}x-3 \cos x \sin^{2}x + j(3 \sin x ~\cos^{2}x-\sin^{3}x)]\)
d'où \(\sin 3x = 3 \sin x \cos^{2} x - \sin^{3} x = 3 \sin x(1-\sin^{2}x) - \sin^{3}x\)
\(\sin 3x = -4 \sin^{3}x + 3 \sin x\)
Question
Appliquer les formules d'Euler à la détermination de \(\cos^{4}x\) et \(\sin^{3}x\) (Linéarisation)
Aide simple
Formules d' Euler :\(\cos x = \frac{1}{2}(e^{jx} + e^{-jx})\) et \(\sin x = \frac{1}{2j} (e^{jx}-e^{-jx})\)
Aide détaillée
Utiliser la formule du binôme de Newton pour le calcul de \(\cos^{4}x\) et \(\sin^{3} x\).
Solution simple
Après calcul nous avons :
\(\cos^{4}x = \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{3}{8}\)
\(\sin^{3} x = -\frac{1}{4} \sin 3x + \frac{3}{4} \sin x\)
Solution détaillée
Par application des formules d'Euler :
\(\cos^{4}x = \frac{1}{2^{4}}(e^{jx} + e^{-jx})^{4} = \frac{1}{2^{4}} (e^{j4x} + 4 e^{j3x}e^{-jx} + 6e^{j2x}e^{-j2x} + 4e^{jx}e^{-j3x} + e^{-j4x})\)
\(=\frac{1}{2^{4}}(e^{j4x}+4e^{j2x} + 6 + 4 e^{-j2x} + e^{-j4x})\)
\(=\frac{1}{2^{3}}(\frac{e^{j4x}+e^{-j4x}}{2} + 4 \frac{(e^{j2x}+e^{-j2x})}{2} + \frac{6}{2})\)
\(=\frac{1}{8}(\cos 4x + 4\cos2x + 3)\)
\(\cos^{4}x = \frac{1}{8}\cos 4x +\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{3}{8}\)
\(\sin^{3}x = \frac{1}{(2j)^{3}}(e^{jx} - e^{-jx})^{3} = -\frac{1}{8j} (e^{j3x} - 3 e^{j2x}e^{-jx} + 3e^{jx}e^{-j2x} - e^{-j3x})\)
\(=-\frac{1}{8j}(e^{j3x}-3e^{jx} +3 e^{-jx} - e^{-j3x})\)
\(=-\frac{1}{4}(\frac{e^{j3x}-e^{-j3x}}{2j} - 3 \frac{(e^{jx}-e^{-jx})}{2j})\)
\(\sin^{3}x = -\frac{1}{4}\sin 3x +\frac{3}{4} \sin x\)
Question
Linéariser l'expression \(E(x)=\cos^{4}x. \sin^{3}x\)
Aide simple
Utiliser les formules d'Euler \(\cos x = \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2}\) et \(\sin x = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{2j}\)
Aide détaillée
Déterminer \(\cos^{4}x\) et \(\sin^{3}x\) sous la forme de fonctions exponentielles et effectuer les produits d'exponentielles.
Solution simple
Dans les questions précédentes nous avions :
\(\cos^{4}x = \frac{1}{2^{4}}\left(e^{j4x} + 4e^{j2x} + 6 + 4 e^{-j2x} + e^{-j4x} \right)\)
\(\sin^{3}x = -\frac{1}{8j}\left(e^{j3x} - 3e^{jx} + 3 e^{-jx} - e^{-j3x} \right)\)
d'où après calcul : \(E(x) = \cos^{4}x . \sin^{3} x\)
\(E(x) = \frac{3}{64} \sin x + \frac{3}{64} \sin 3x - \frac{1}{64} \sin 5x - \frac{1}{64} \sin 7x\)
Solution détaillée
Par application des formules d'Euler :
\(E(x) = \cos^{4}x. \sin^{3}x = \frac{1}{2^{4}} \left(-\frac{1}{8j}\right) \left(e^{j4x} + 4e^{j2x} + 6 + 4e^{-j2x} + e^{-j4x}\right)\left(e^{j3x} - 3e^{jx} + 3 e^{-jx} - e^{-j3x}\right)\)
\(= - \frac{1}{128j} \left(e^{j7x} + 4e^{j5x}+6e^{j3x} + 4e^{jx} + e^{-jx} -3e^{j5x} - 12e^{j3x}-18e^{jx}-12e^{-jx}-3e^{-j3x}+3e^{j3x}+12e^{jx}+18e^{-jx}+12e^{-j3x}+3e^{-j5x}-e^{jx}-4e^{-jx}-6e^{-j3x}-4e^{-j5x}-e^{-j7x}\right)\)
\(= - \frac{1}{128j} \left(e^{j7x} - e^{-j7x} + e^{j5x}-e^{-j5x} - 3\left(e^{j3x} - e^{-j3x}\right)-3\left(e^{jx} - e^{-jx}\right)\right)\)
\(= - \frac{1}{64} \left(\frac{e^{j7x} - e^{-j7x}}{2j} + \frac{e^{j5x} - e^{-j5x}}{2j} - 3 \frac{\left(e^{j3x} - e^{-j3x}\right)}{2j} - 3\frac{\left(e^{jx} - e^{-jx}\right)}{2j} \right)\)
\(= -\frac{1}{64} \left(\sin 7x + \sin 5x - 3\sin 3x - 3\sin x \right)\)
\(E(x) = \frac{3}{64} \sin x + \frac{3}{64} \sin 3x - \frac{1}{64} \sin 5x - \frac{1}{64} \sin 7 x\)
Question
Retrouver l'expression de \(E(x)\) après linéarisation, par l'utilisation des expressions de \(\cos^{4}x\) et \(\sin^{3}x\)(trouvées en question 2) et des formules trigonométriques transformant les produits en somme.
Aide simple
Le produit des fonctions \(\cos^{4}x \cdot \sin^{3}x\), après linéarisation de chacun des facteurs conduit à des produits de la forme \(\sin a ~\cos b\).
Aide détaillée
Formules trigonométriques transformant les produits en sommes :
\(\cos a \cos b = \frac{1}{2} \left[\cos(a+b) + \cos(a-b)\right]\)
\(\sin a \sin b = -\frac{1}{2} \left[\cos(a+b) - \cos(a-b)\right]\)
\(\sin a \cos b = \frac{1}{2} \left[\sin (a+b) + \sin (a-b)\right]\)
Solution simple
Expression de
\(\begin{array}{lll}E(x) &= \cos^{4}x \cdot \sin^{3}x \\& = \left(\frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{3}{8}\right) \left(- \frac{1}{4}\sin 3x + \frac{3}{4} \sin x \right) \end{array}\)
\(E(x) = \frac{3}{64} \sin x + \frac{3}{64} \sin 3x - \frac{1}{64} \sin 5x -\frac{1}{64} \sin 7x\)
Solution détaillée
A partir des expressions de \(\cos^{4}x\) et \(\sin^{3}x\) obtenus après linéarisation nous obtenons les produits « \(\sin a \cdot \cos b\) » suivants :
\(E(x) = \cos^{4}x \cdot \sin^{3}x = \left(\frac{1}{8} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{3}{8}\right) \left(- \frac{1}{4}\sin 3x + \frac{3}{4} \sin x \right)\)
\(= -\frac{1}{32} \cos 4x \sin 3x - \frac{1}{8} \cos 2x \sin 3x - \frac{3}{32} \sin 3x + \frac{3}{32} \cos 4x \sin x + \frac{3}{8} \cos 2x \sin x + \frac{9}{32} \sin x\)
avec \(\begin{array}{lll} \cos 4x \cdot \sin 3x &= \frac{1}{2} \left(\sin 7x - \sin x \right) \\\\ \cos 2x \cdot \sin 3x &= \frac{1}{2} \left(\sin 5x + \sin x \right) \\\\ \cos 4x \cdot \sin x &= \frac{1}{2} \left(\sin 5x - \sin 3x \right) \\\\ \cos 2x \cdot \sin x &= \frac{1}{2} \left(\sin 3x - \sin x \right)\end{array}\)
d'où :
\(E(x) = - \frac{1}{64} (\sin 7x - \sin x) - \frac{1}{16} (\sin 5x + \sin x) - \frac{3}{32} \sin 3x + \frac{3}{64}(\sin 5x - \sin 3x)+\frac{3}{16} (\sin 3x - \sin x) + \frac{9}{32} \sin x\)
\(= - \frac{1}{64} \sin 7x + \left(\frac{3}{64}-\frac{1}{16}\right) \sin 5x + \left(\frac{3}{16}-\frac{3}{64}-\frac{3}{32}\right) \sin 3x + \left(\frac{1}{64}-\frac{1}{16}-\frac{3}{16}+\frac{9}{32}\right) \sin x\)
\(E(x) = -\frac{1}{64} \sin 7x - \frac{1}{64} \sin 5x + \frac{3}{64} \sin 3x + \frac{3}{64} \sin x\)