Question 1 [Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique]

Question 1

Durée : 15 mn

Note maximale : 6

Question

Sachant que les angles à l'intérieur d'un triangle vérifie la relation : $A + B + C = \pi$ , montrer que ( $\sin A + \sin B$ ) s'exprime en fonction des angles $A/2$ , $B/2$ et $C/2$ .

En déduire la valeur du coefficient $k \in \mathbb{R}$ de l'expression :

$\sin A + \sin B - \sin C = k \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$

Solution

Déterminons $\sin A + \sin B$ :

$\begin{array}{lll}\sin A + \sin B &= 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \\ & = 2 \sin \left(\frac{\pi - C}{2}\right) \cos \frac{A-B}{2}\end{array}$

$\sin A + \sin B = 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ (2pts)

Valeur de $k$

Sachant que $\sin C = 2 \sin \frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ (1pt) , nous obtenons

$\sin A + \sin B - \sin C = 2 \cos \frac{C}{2} \left(\cos \frac{A-B}{2} - \sin\frac{C}{2}\right)$

mais $\sin \frac{C}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}\right) = \cos \frac{A+B}{2}$ (1pt)

et $\left(\cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2} \right) = 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}$

d'où

$\sin A + \sin B - \sin C = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$

et $k = 4$ (2pts)