Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

Cette équation étant invariante par le changement \(x \to (\pi - x)\), nous posons \(X = \sin x\) \(( \arrowvert X\arrowvert ≤ 1)\) et transformons cette équation en écrivant :

\(\cos 2x + 11 \sin x + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow (1 - 2 \sin^{2}x) + 11 \sin x + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow 2 X^{2} - 11X - 6 = 0\) (2pts)

Le discriminant de cette équation du second degré étant positif

\(\Delta = (11)^{2} - 4(-6)(2) = 169 = 13^{2}\), l'équation admet les deux racines

\(X_{1} = (11 - 13) / 4 = - 1/2\)

\(X_{2} = (11 + 13) / 4 = 6\) (solution à rejeter car \(\arrowvert X\arrowvert ≤ 1\))

La solution \(X_{1} = - 1/2\) est la seule acceptable. (2pts)

\(\sin x = - \frac{1}{2} \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} x &= - \frac{\pi}{6} + 2 k \pi & \textbf{(1 pt)} \\ &\textrm{ ou }&\\x &= \pi - \left(- \frac{\pi}{6}\right) =\frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi & \textbf{(1 pt)} \end{array}\right.\)