Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

1. Par un calcul formel (sans précaution sur \(D_f\)), prenons le sinus des deux membres :

\(\begin{array}{lll}\sin (\textrm{Arcsin }a+\textrm{Arcsin }b) &= \sin (\textrm{Arcsin }a) \cos(\textrm{Arcsin }b) + \sin (\textrm{Arcsin }b)\cos(\textrm{Arcsin }a)\\& = a \sqrt{1-\sin^{2} \textrm{Arcsin }b} + b \sqrt{1-\sin^{2}(\textrm{Arcsin }a)} \end{array}\)

\(\sin (\textrm{Arcsin }a+\textrm{Arcsin }b) = a \sqrt{1-b^{2}} + b \sqrt{1-a^{2}}\) (2pts)

\(\sin\left(\textrm{Arcsin }\left(a\sqrt{1-b^{2}} + b \sqrt{1-a^{2}}\right)\right) = a \sqrt{1-b^{2}} + b \sqrt{1-a^{2}}\) (1pt)

Ces calculs donnent une équivalence lorsqu'on impose

\(- \pi/2 ≤ \textrm{Arcsin }a + \textrm{Arcsin }b ≤ \pi/2\) (1pt)

Dans ce cas, nous avons : \(\textrm{Arcsin }a + \textrm{Arcsin }b = \textrm{Arcsin } \left(a \sqrt{1-b^{2}} + b \sqrt{1-a^{2}}\right)\)

2. Application numérique :

\(\begin{array}{ll}\textrm{Arcsin }\frac{5}{13} + \textrm{Arcsin }\frac{3}{5} &= \textrm{Arcsin } \left(\frac{5}{13} \sqrt{1-\frac{9}{25}} + \frac{3}{5} \sqrt{1-\frac{25}{169}}\right) \\& = \textrm{Arcsin }\left(\frac{5}{13}\times\frac{4}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{12}{13}\right) \end{array}\)

\(\textrm{Arcsin }\frac{5}{13} + \textrm{Arcsin }\frac{3}{5} = \textrm{Arcsin }\frac{56}{65}\) (2pts)