Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

1. Posons \(\alpha = \textrm{Arctan }x \Leftrightarrow x = \tan \alpha \textrm{ avec }\alpha \in ] -\pi/2 ; \pi/2 [\)

et déterminons : \(\cos (2 \textrm{Arctan }x) = \cos 2\alpha = 2 \cos^{2}\alpha - 1\) (1pt)

or \(\cos^{2} \alpha = \frac{1}{1+\tan^{2} \alpha} = \frac{1}{1+x^{2} }\) (1pt)

d'où \(\cos 2 \alpha = \frac{2}{1+x^{2}} - 1 = \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\)

et \(2 \alpha = \textrm{Arccos } \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}= 2 \textrm{Arctan }x\) (2pts)

2. De la relation \(\cos 4\alpha = 2 \cos^{2}\alpha - 1\) nous en déduisons l'expression simplifiée :

\(\begin{array}{lll}\cos(4 \textrm{Arctan }x) &= 2 \cos^{2}(2 \textrm{Arctan }x)-1 \\& = 2 \cos^{2}\left(\textrm{Arccos } \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) - 1 \\ & = 2 \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)- 1\\& = \frac{2 (1-2x^{2} + x^{4}) - (1+2x^{2} + x^{4})}{(1+x^{2})^{2}}\end{array}\)

\(\cos(4\textrm{Arctan x}) = \frac{1-6x^{2} + x^{4}}{(1+x^{2})^{2}}\) (3pts)