Dérivées - Différentielles

On pose \(U = \sin u\) avec \(u = 5x\) et \(V = \cos v\) avec \(v=\frac{x}{3}\)

nous avons \(U'=\cos u.u'\)avec \(u'=5\)et\(V'=-\sin v.v'\) avec \(v'=\frac{1}{3}\)d'où

\(y_3=U^2V\) et \(y_3'=(U^2V)'=2UU'V+U^2V'\)

\(\color{blue}y_3'=10\sin 5x\cos 5x\cos(\frac{x}{3})-\frac{1}{3}\sin^25x\sin(\frac{x}{3})~~\color{red}\textrm{(4 points)}\)

\(y_4'=(\sqrt{a^2-x^2})'+(a\arcsin(x/a))'\) soit successivement

\((\sqrt{a^2-x^2})'=\frac{1}{2}(a^2-x^2)^{-1/2}(-2x)=-x(a^2-x^2)^{-1/2}\)

\((a\arcsin(x/a))'=a\frac{1}{a}[1-\frac{x^2}{a^2}]^{-1/2}=a(a^2-x^2)^{-1/2}\)

d'où

\(\color{blue}y_4'\color{black}=(a-x)(a^2-x^2)^{-1/2}=\color{blue}\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}~~\color{red}\textrm{(4 points)}\)