Question 3
Durée : 5 mn
Note maximale : 6
Question
La période d'un pendule simple de longueur \(l\) est donné par la formule : \(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\) Calculer l'incertitude relative, par l'utilisation de la différentielle logarithmique totale, sur la longueur \(l\) si :
\(\pi = 3,141\) à \(10^{-3}\) près
\(g=9,81m.s^{-2}\) à \(10^{-2}\) près
\(T=2,005\) à \(10^{-3}\) près
Solution
De la formule de \(T\) on en déduit : \(l=\frac{T^2g}{4\pi^2}\) d'où \(l=(2,005)^2\frac{9,81}{4\pi^2}=0,999m\)
et
\(\ln l = 2\ln T+\ln g-\ln 4-2\ln \pi \Rightarrow\color{blue}\frac{dl}{l}=2\frac{dT}{T}+\frac{dg}{g}-2\frac{d\pi}{\pi}~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)
\(\color{blue}\frac{\Delta l}{l}\color{black}=2\frac{\Delta T}{T}+\frac{\Delta g}{g}+2\frac{\Delta \pi}{\pi}\)
\(=2\frac{0,001}{2,005}+\frac{0,01}{9,81}+2\frac{0,001}{3,141}~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)
\(=\color{blue}2,64.10^{-3}\)
\(\color{blue}\frac{\Delta l}{l}\#0,26\%~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)