Question 1
Durée : 7 mn
Note maximale : 10
Question
La forme différentielle \(\delta p\) de la pression d'un gaz (entre \(0\) et \(40\) atmosphères) est donnée par l'équation, relative à une mole :
\(\delta p = -\frac{RT}{v^2}(1+\frac{2\alpha}{v})dv+\frac{R}{v}(1+\frac{\alpha}{v})dT\)
Montrer que \(\delta p\) est une différentielle totale.
Solution
En écrivant la forme différentielle sous la forme : \(\delta p = Pdv+QdT\)
\(\delta p\) est une différentielle totale si : \(\color{blue}\frac{\delta P}{\delta T}=\frac{\delta Q}{\delta v}~~\color{red}\textrm{(2 points)}.\) Or le calcul des dérivées partielles conduit à :
\(\color{blue}\frac{\delta P}{\delta T} = -\frac{R}{v^2}(1+\frac{2\alpha}{v})~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)
\(\color{blue}\frac{\delta Q}{\delta v}\color{black}=-\frac{R}{v^2}(1+\frac{\alpha}{v})+\frac{R}{v}(-\frac{\alpha}{v^2})=-\frac{R}{v^2}(1+\frac{2\alpha}{v})=\color{blue}\frac{\delta P}{\delta T}~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)
\(\delta p\) est une différentielle totale de la forme :
\(\color{blue}dp=(\frac{\delta p}{\delta v})_Tdv+(\frac{\delta p}{\delta T})_vdT~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)