Question 1

Durée : 7 mn

Note maximale : 10

Question

La forme différentielle \(\delta p\) de la pression d'un gaz (entre \(0\) et \(40\) atmosphères) est donnée par l'équation, relative à une mole :

\(\delta p = -\frac{RT}{v^2}(1+\frac{2\alpha}{v})dv+\frac{R}{v}(1+\frac{\alpha}{v})dT\)

Montrer que \(\delta p\) est une différentielle totale.

Solution

En écrivant la forme différentielle sous la forme : \(\delta p = Pdv+QdT\)

\(\delta p\) est une différentielle totale si : \(\color{blue}\frac{\delta P}{\delta T}=\frac{\delta Q}{\delta v}~~\color{red}\textrm{(2 points)}.\) Or le calcul des dérivées partielles conduit à :

\(\color{blue}\frac{\delta P}{\delta T} = -\frac{R}{v^2}(1+\frac{2\alpha}{v})~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)

\(\color{blue}\frac{\delta Q}{\delta v}\color{black}=-\frac{R}{v^2}(1+\frac{\alpha}{v})+\frac{R}{v}(-\frac{\alpha}{v^2})=-\frac{R}{v^2}(1+\frac{2\alpha}{v})=\color{blue}\frac{\delta P}{\delta T}~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)

\(\delta p\) est une différentielle totale de la forme :

\(\color{blue}dp=(\frac{\delta p}{\delta v})_Tdv+(\frac{\delta p}{\delta T})_vdT~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)