Dérivées - Différentielles

Par identification :\(\frac{\delta p}{\delta v}=-\frac{RT}{v^2}(1+\frac{2\alpha}{v})\) par intégration : \(p(v,T)=\frac{RT}{v}+\frac{\alpha RT}{v^2} + \varphi(T)\)

or comme \(\frac{\delta p}{\delta T}=\frac{R}{v}(1+\frac{\alpha}{v})=\frac{R}{v}+\frac{\alpha R}{v^2}+\varphi'(T)\Rightarrow\varphi'(T)=0\Rightarrow\varphi(T)=K\)

d'où \(p(v,T)=\frac{RT}{v}(1+\frac{\alpha}{v})+K\Rightarrow\color{blue}pv=RT(1+\frac{\alpha}{v})+K_1~~\color{red}\textrm{(6 points)}\)

Comme, aux faibles pressions, ce gaz est équivalent à un gaz parfait : \((pv) \rightarrow 0\) quand \(T \rightarrow O,\) on en déduit \(K_1 = 0\)

\(\Rightarrow\) Equation d'état : \(\color{blue}pv=RT(1+\frac{\alpha}{v})~~\color{red}\textrm{(4 points)}\)