Intégration par changement de variable

Le choix de la variable doit être conditionné par l'obtention d'une forme à intégrer proche de celles listées dans le tableau des primitives classiques.

Changement de variable pour le calcul des primitives \(\int f(x)dx\)

  • Changement de variable \(u = \Psi(x)\)

    Dans le calcul de \(F(x)=\int f(x)dx\)si l'élément différentiel \(\color{red}f(x) dx\) peut se mettre sous la forme \(\color{red}g[\Psi(x)] \Psi'(x) dx \color{black},\) alors en posant

    \(\color{blue}u = \Psi(x)\) et \(\color{blue}du = \Psi'(x)dx\) nous obtiendrons \(G(u)=\int g(u)du\)et

    \(\boxed{\color{red}F(x)=G[\Psi(x)]+C}\)

    F(x) = G [Ψ(x)] + C

  • Changement de variable \(x = \varphi(t)\)

    Dans le calcul de \(F(x)=\int f(x)dx\) en posant \(\color{red}x = \varphi(t) \color{black}\Leftrightarrow\color{red} dx = \varphi'(t) dt\color{black},\) l'élément différentiel, fonction de la variable \(t,\) devient \(\color{blue}f(x) dx = f [ \varphi(t)] \varphi'(t) dt,\) d'où \(G(t)=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=F[\varphi(t)]\)et :

    \(\boxed{\color{red}F(x) = G [ j^{-1}(x)] + C}\)

    (La fonction \(\varphi\) doit être choisie bijective car \(t = \varphi^{ -1}(x))\)

Exemple

Intégration avec changement de variable \(u = \Psi(x)\)

Calculer \(I=\int x\sqrt{1+x^2}dx\)

posons :\( u = 1 + x^2 \Leftrightarrow du = 2x dx\) ,d'où :

\(\color{red}I\color{black}=\int\frac{1}{2}u^{1/2}du=\frac{1}{3}u^{3/2}+C=\color{red}\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}+C\)

Exemple

Intégration avec changement de variable \(x = \varphi(t)\)

Calculer \(I=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

Posons \(x = \sin t \Leftrightarrow t = \arcsin x\)

avec \(x \in ] -1 ; 1[\) ou \(t \in ] - \pi/2 ; \pi/2[\)

et \(dx = \cos t dt ,\) d'où

\(\color{red}I\color{black}=\int\frac{\cos tdt}{\sqrt{1-\sin^2t}}=\int\frac{\cos t}{|\cos t|}dt=\int dt= t = \color{red}\arcsin x \)

( avec \(\sqrt{1-\sin^2t}=|\cos t|=\cos t\) pour \(t\in]-\frac{\pi}{2} ;\frac{\pi}{2}[)\)

Changement de variable pour le calcul des intégrales \(\int_a^bf(x)dx\)

La fonction \(f\) est définie et continue sur \([ a, b].\)

  • Changement de variable \(u = \Psi(x)\)

    Dans le cas où l'élément différentiel \(\color{red}f(x) dx\) peut se mettre sous la forme \(\color{red}g[\Psi(x)] \Psi'(x) dx ,\) en posant \(\color{blue}u = \Psi(x)\) nous obtiendrons :

    \(\boxed{\color{red}\int_a^bf(x)dx =\int_a^b g[\Psi(x)]\Psi'(x)dx= \color{red}\int_{\Psi(a)}^{\Psi(b)}g(u)du}\)

  • Changement de variable \(x = \varphi(t)\)

    La fonction \(\varphi\) admet une dérivée continue sur un intervalle \([ t_1; t_2]\)

    défini par : \(t_1 = \varphi^{ -1}(a)\) et \(t_2 = \varphi^{ -1}(b).\)

    L'élément différentiel étant \(\color{blue}f(x) dx = f [ \varphi(t)] \varphi'(t) dt,\) l'intégrale s'exprimera par :

    \(\boxed{\color{red}\int_a^bf(x)dx=\int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt}\)

Exemple

Intégration avec changement de variable \(u = \Psi(x)\)

Calculer \(I=\int_0^{\pi/3}\cos^2x\sin xdx\)

Posons \(u = \cos x \Leftrightarrow du = - \sin x dx\) et \(\begin{cases}u_1=\cos 0 = 1\\u_2=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{cases},\) d'où

\(\color{red}I\color{black}=\int_0^{1/2}u^2(-du)=[- \frac{u^3}{3}]_1^{1/2}=-\frac{1}{3}(\frac{1}{8}-1)=\color{red}\frac{7}{24}\)

Exemple

Intégration avec changement de variable \(x = \varphi(t)\)

Calculer \(I = \int_e^{e^3}\frac{dx}{x\ln x}~~(x>0)\)

Posons \(x = e ^t \Leftrightarrow t = \ln x\) et \(\begin{cases}t_1=\ln e=1\\t_2=\ln e^3=3\end{cases}\)

avec \(dx = e^t dt\) d'où :

\(\color{red}I\color{black}=\int_1^3\frac{e^tdt}{e^tt}=\int_1^3\frac{dt}{t}=[\ln|t|]_1^3=\color{red}\ln 3\)