Intégration par parties

Cas des primitives

La méthode d'intégration par parties est basée sur la formule de la différentielle du produit de deux fonctions d'une variable \(u = u(x)\) et \(v = v(x)\) :

\(\color{red}d (u v) = u dv + v du\)

On suppose que : \(f(x) dx = u(x) dv(x)\)\(u(x)\) et \(v(x)\) sont des fonctions continues de \(x\) avec

\(dv(x)=v'(x)dx\\du(x)=u'(x)dx\) alors :

\(\int f(x)dx=\int u(x)dv(x)=\int d(u(x)v(x)) - \int v(x)du(x)\)

ou \(\int udv=\int d(uv)-\int vdu\)

et \(\color{red}\int udv=uv-\int vdu\)

Cette méthode est employée quand le calcul de\(\int vdu\) est plus simple que celui de \(\int udv\)

ExemplePrimitivation par parties

Calculer \(I = \int x\sinh xdx\)

on pose \(u = x,\) \(dv = \sinh x dx\)

alors \(du = dx,\) \(v = \cosh x,\)

d'où : \(\color{red}I\color{black}=\int x\sinh xdx=x\cosh x-\int\cosh xdx=\color{red}x\cosh x-\sinh x+C\)

Cas des intégrales

Si \(u(x)\) et \(v(x)\) possèdent des dérivées continues sur l'intervalle \([ a, b]\) alors l'intégration de la fonction \(f(x) dx = u(x) dv(x)\) sur \([ a, b]\) conduit à :

\(\int_a^bf(x)dx=\int_a^bu(x)dv(x)=\int_a^bd(u(x)v(x))-\int_a^bv(x)du(x)\)

d'où \(\color{red}\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu\)

ExempleIntégration par parties cas des intégrales

Calculer \(I=\int_1^ex^2\ln xdx\)

on pose \(u = \ln x ,\) \(dv = x^ 2 dx\)

alors \(du = dx / x ,\) \(v = x^3 / 3,\)

d'où : \(\color{red}I\color{black}=\int_1^ex^2\ln xdx=[\frac{x^3}{3}\ln x]_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{3}dx=[\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}]_1^e=\color{red}\frac{1}{9}(2e^3+1)\)

Application de l'intégration par parties

Forme \(\int P_n(x)e^{kx}dx\) \((P_n(x)\) : polynôme de degré \(n)\)

1ère méthode

Appliquer plusieurs fois la méthode d'intégration par parties en prenant \(P_n(x)\) pour \(u(x)\) afin d'abaisser le degré de \(P_n(x)\)

DémonstrationMéthode de la double intégration

On considère la forme \(I=\int P_n(x)e^{kx}dx\)\(P_n(x)\) est un polynôme de degré \(n.\)

Posons

\(\begin{array}{l l}u(x)=P_n(x)&dv=e^{kx}dx\\du=P_n'(x)dx=Q_{n-1}(x)dx&v=\frac{1}{k}e^{kx}\end{array}\)

d'où

\(\boxed{I=\int P_n(x)e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}P_n(x)-\frac{1}{k}\int Q_{n-1}(x)e^{kx}dx}\)

L'intégration par parties se poursuit jusqu'à l'obtention d'une primitive de la forme \(\int\alpha e^{kx}\)avec \(\alpha = cste.\)

Exemple

Intégration de \(P_n(x)e^{kx}dx~~(1)\)

Calculer \(I=\int x^2e^xdx\)

Intégration par parties en posant :

\(\begin{array}{l l}u=x^2&dv=e^xdx\\du=2xdx&v=e^x\end{array}\), d'où :

\(I=\int x^2e^xdx=x^2e^x-2\color{blue}\underbrace{\int xe^xdx}_{I_1}\)

Calculons \(I_1=\int xe^xdx\)par parties en posant

\(\begin{array}{l l}u=x&dv=e^xdx\\du=dx&v=e^x\end{array}\), d'où :

\(\color{blue}I_1\color{black}=\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=\color{blue}xe^x-e^x+C\)

et\( \color{red}I\color{black}= x^2 e^x - 2( x e^x - e^x) + C =\color{red} (x^2 - 2x + 2) e^x + C\)

2ème méthode

La primitive de la fonction \(P_n(x) e^{kx}\) est de la forme \(Q_n(x) e^{kx},\)\(Q_n(x)\) est un polynôme de même degré que \(P_n(x).\) Après dérivation de la forme primitive \(Q_n(x) e^{kx}\) et identification à \(P_n(x) e^{kx},\) on détermine les coefficients de \(Q_n(x).\)

DémonstrationMéthode d'identification

On considère la forme \(I=\int P_n(x)e^{kx}dx\)\(P_n(x)\) est un polynôme de degré \(n.\)

Cherchons une primitive sous la forme : \(\color{blue}I = Q_n (x) e ^{kx} + C\)

d'où par dérivation : \(\color{blue}I'(x)\color{black} = Q_n'(x) e^{ kx} + k Q_n(x) e^{kx} = \color{blue}[Q_n'(x) + k Q_n(x)] e^{ kx}\)

L'identification conduit à :

\(I'(x) = P_n(x) e^{kx} = [Q_n'(x) + k Q_n(x)] e^{ kx} \Leftrightarrow \color{red}P_n(x) = Q_n'(x) + k Q_n(x)\)

permet de déterminer les coefficients relatifs aux puissances de \(x\) du polynôme \(Q_n(x).\)

Exemple

Intégration de \(P_n(x)e^{kx}dx~~(2)\)

Calculer \(I=\int x^2e^xdx\)

Cherchons la primitive \(F(x)\) sous la forme :

\(I(x) = (a x^2 + b x + c) e^x + C\)

d'où par dérivation :

\(I'(x) = (2ax + b) e^x + (ax^2 + bx + c) e^x= [ ax^2 + (2a + b) x + b + c ] e^x\)

Par identification de \(I'(x) = x^2 e^x,\) nous avons :

\(\color{blue}a = 1\)

\(2a + b = 0 \Rightarrow\color{blue} b = -2a = -2\)

\(b + c = 0\) et \(\color{blue}c = - b = 2\)

d'où \(\color{red}I(x) = (x^2 - 2x + 2) e^x + C\)

Forme \(\int P_n(x)\sin\omega xdx\)ou \(\int Q_n(x)\cos\omega xdx\)

1ère méthode

Appliquer plusieurs fois la méthode d'intégration par parties en prenant \(P_n(x)\) ou \(Q_n(x)\) pour \(u(x)\) afin d'abaisser le degré de \(P_n(x)\) ou \(Q_n(x).\)

DémonstrationMéthode de la double intégration

On considère la forme \(I=\int P_n(x)\sin\omega xdx\)\(P_n(x)\) est un polynôme de degré \(n.\)

Posons

\(\begin{array}{l l}u=P_n(x)&dv=\sin\omega xdx\\du=P_n'(x)dx=Q_{n-1}(x)dx&v=-\frac{1}{\omega}\cos\omega x\end{array}\)

d'où :

\(I=\int P_n(x)\sin\omega xdx\\=-\frac{1}{\omega}P_n(x)\cos\omega x+\frac{1}{\omega}\int\color{blue}\underbrace{Q_{n-1}(x)}_{\textrm{Polynôme de degré (n-1)}} \color{black}\cos\omega xdx\)

L'intégration par parties se poursuit pour abaisser le degré du polynôme \(Q_{n-1}(x).\)

Exemple

Intégration de \(\int P_n(x)\sin\omega xdx\) ou \(\int Q_n(x)\cos\omega xdx~~(1)\)

Calculer \(I=\int(3x-1)\cos 2xdx\)

Posons \(\begin{array}{l l}u=3x-1&dv=\cos 2xdx\\du=3dx&v=\frac{1}{2}\sin 2x\end{array}\)

d'où \(I=\int(3x-1)\cos 2xdx\\=\frac{1}{2}(3x-1)\sin 2x-\int\frac{3}{2}\sin 2xdx\\\color{red}I=\frac{1}{2}(3x-1)\sin 2x+\frac{3}{4}\cos 2x+C\)

2ème méthode

Par identification en cherchant une primitive sous la forme générale :

\(\color{red}I = R_n(x) \sin \omega x + S_n(x) \cos \omega x\)\(\color{blue}R_n(x)\) et \(\color{blue}S_n(x)\) sont des polynômes de degré \(n.\)

Après dérivation de la forme primitive et identification à \(P_n(x)\sin\omega x\) ou à \(Q_n(x) \cos\omega x,\) on détermine les coefficients de \(P_n(x)\) et \(Q_n(x).\)

DémonstrationMéthode d'identification

On considère la forme\(I=\int P_n(x)\sin\omega xdx\)\(P_n(x)\) est un polynôme de degré \(n.\)

Cherchons une primitive sous la forme générale :

\(\color{blue}I = R_n(x) \sin \omega x + S_n(x) \cos\omega x\)

Par dérivation nous obtenons :

\(I'(x) = R_n'(x)\sin\omega x + \omega R_n(x) \cos \omega x + S_n'(x) \cos \omega x - \omega S_n(x) \sin \omega x\)

\(I'(x) = \color{blue}(R_n'(x) - \omega S_n(x)) \sin \omega x + (S_n'(x) + \omega R_n (x)) \cos \omega x\)

L'identification \(I'(x) = \color{blue}P_n(x) \sin \omega x\) conduit au système :

\(\begin{cases}R_n'(x)-\omega S_n(x)=P_n(x)\\S_n'(x)+\omega R_n(x)=0\end{cases}\)

qui permettra de déterminer les polynômes \(\color{red}R_n(x)\) et \(\color{red}S_n(x).\)

Exemple

Intégration de \(\int P_n(x)\sin\omega xdx\) ou \(\int Q_n(x)\cos\omega xdx~~(2)\)

Calculons \(I=\int(3x-1)\cos 2xdx\)

Cherchons la primitive sous la forme :

\(I = (ax + b) \cos 2x + (cx + d) \sin 2x + C\)

par dérivation :

\(I'(x) = a \cos 2x - 2 (ax + b) \sin 2x + c \sin 2x + 2 (cx + d) \cos 2x\)

\(= ( 2cx + a + 2d) \cos 2x - ( 2ax + 2b - c) \sin 2x\)

et identification à \((3x - 1) \cos 2x\) :

\(\begin{array}{r l}2c=3&\color{blue} c=3 /2\\a+2d=-1&\color{blue} d=-1/2\\2a=0&\color{blue}a=0\\-2b+c=0&\color{blue} b=3/4\end{array}\)

d'où \(\color{red}I=\frac{3}{4}\cos 2x+(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2})\sin 2x+C\)

Forme \(\int e^{kx}\cos \omega xdx\) ou \(\int e^{kx}\sin\omega xdx\)

1ère méthode

Intégrer deux fois pour retrouver l'intégrale de départ.

DémonstrationMéthode de la double intégration

On considère la forme \(I=\int e^{kx}\cos\omega xdx\)

Posons :

\(\begin{array}{l l }u=e^{kx}&dv=\cos\omega xdx\\du=ke^{kx}dx&v=\frac{1}{\omega}\sin\omega x\end{array}\)

d'où :

\(I=\int e^{kx}\cos\omega xdx=\frac{e^{kx}}{ \omega}\sin\omega x-\frac{k}{\omega}\color{blue}\underbrace{\int e^{kx}\sin\omega xdx}_{I_1}\)

Calculons \(I_1=\int e^{kx}\sin \omega xdx\)par intégration par parties

Posons :

\(\begin{array}{l l}u=e^{kx}&dv=\sin\omega xdx\\du=ke^{kx}dx&v=-\frac{1}{\omega}\cos \omega x\end{array}\)

d'où :

\(I_1=-\frac{e^{kx}}{\omega}\cos\omega x+\frac{k}{\omega}\int e^{kx}\cos\omega xdx=-\frac{e^{kx}}{\omega}\cos\omega x+\frac{k}{\omega}I\)

et

\(I=\frac{e^{kx}}{\omega}\sin \omega x-\frac{k}{\omega}[-\frac{e^{kx}}{\omega}\cos\omega x+\frac{k}{\omega}I]\\\)

\(I+\frac{k^2}{\omega^2}I=I\frac{\omega^2+k^2}{\omega^2}=\frac{e^{kx}}{\omega^2}(\omega\sin\omega x+k\cos\omega x)\)

\(\color{red}I=\frac{e^{kx}}{k^2+\omega^2}(\omega\sin\omega x+k\cos\omega x) + C\)

Exemple

Intégration de \(\int e^{kx}\cos\omega xdx\) ou \(\int e^{kx}\sin\omega xdx~~(1)\)

Calcul de l'intégrale \(\color{red}I\color{black}=\int_0^{\pi/4}e^{-x}\sin 2xdx\)

1ère intégration par parties :

Posons \(\begin{array}{l l}u=e^{-x}&dv=\sin2xdx\\du=-e^{-x}dx&v=-\frac{1}{2}\cos2x\end{array}\),

d'où : \(I=\int_0^{\pi/4}e^{-x}\sin2xdx=[\frac{1}{2}e^{-x}\cos2x]_0^{\pi/4}-\frac{1}{2}\color{blue}\underbrace{\int_0^{\pi/4}e^{-x}\cos2xdx}_{I_1}\)

2ème intégration par parties :

Calcul de \(\color{blue}I_1\color{black}=\int_0^{\pi/4}e^{-x}\cos2xdx\)

Posons \(\begin{array}{l l}u=e^{-x}&dv=\cos2xdx\\du=-e^{-x}dx&v=\frac{1}{2}\sin2x\end{array}\), d'où

\(\color{blue}I_1\color{black}=[\frac{1}{2}e^{-x}\sin2x]_0^{\pi/4}+\frac{1}{2}\color{red}\underbrace{\int_0^{\pi/4}e^{-x}\sin2xdx}_I\)

donc \(\color{red}I\color{black}=[-\frac{1}{2}e^{-x}\cos2x]_0^{\pi/4}-\frac{1}{2}\{[\frac{1}{2}e^{-x}\sin2x]_0^{\pi/4}+\frac{1}{2}\color{red}I\color{black}\}\)

\(\color{red}I\color{black}+\frac{1}{4}\color{red}I\color{black}=\frac{5\color{red}I}{4}=-\frac{1}{2}[e^{-x}(\cos2x+\frac{\sin 2x}{2})]_0^{\pi/4}\)

et

\(\color{red}I\color{black}=-\frac{2}{5}[e^{-\pi/4}(\cos\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2})-e^0]=-\frac{2}{5}[\frac{e^{-\pi/4}}{2}-1]\\=\color{red}\frac{2-e^{-\pi/4}}{5}\)

2ème méthode

Par identification, en cherchant une primitive

sous la forme générale \(\color{blue}I = e^{kx} ( \alpha \cos \omega x + \beta \sin \omega x) + C.\)

Après dérivation de la forme primitive et identification à \(e^{kx}\cos\omega x\) ou à \(e^{kx}\sin \omega x,\) on détermine les coefficients \(\alpha\) et \(\beta.\)

DémonstrationMéthode d'identification Exemple

On considère la forme \(I=\int e^{kx}\cos\omega xdx\)

Cherchons une primitive sous la forme générale :

\(\color{blue}I = e^{kx} ( \alpha \cos \omega x + \beta \sin \omega x ) + C\)

Par dérivation nous obtenons :

\(I'(x) = k e^{kx} ( \alpha \cos \omega x + \beta \sin \omega x) + e^{kx} ( -\alpha\omega \sin \omega x + \beta\omega \cos \omega x)\)

\(I'(x) =\color{blue} e^{kx} [ (k\alpha + \omega\beta ) \cos \omega x + ( k\beta -\alpha\omega ) \sin \omega x ) ]\)

L'identification \(I'(x) =\color{blue} e^{kx} \cos \omega x\) conduit au système :

\(\begin{array}{l l}k\alpha+\omega\beta=1&\alpha=\frac{k}{k^2+\omega^2}\\k\beta-\alpha\omega=0&\beta=\frac{\omega}{k^2+\omega^2}\end{array}\)

et

\(\color{red}I=\frac{ e^{kx}}{k^2+\omega^2}(\omega\sin\omega x+k\cos\omega x)+C\)

Exemple

Intégration de \(\int e^{kx}\cos\omega xdx\) ou \(\int e^{kx}\sin\omega xdx~~(2)\)

Calcul de l'intégrale \(J=\int_0^{\pi/4} e^{-x}\sin2xdx\)

Posons \(\color{blue}I_1 = e^{-x} ( a \sin 2x + \beta \sin 2x) + C\) la forme d'une primitive de \(I=\int e^{-x}\sin2xdx\)

Par dérivation de \(I_1(x)\) et en identifiant \(I_1'(x)\) à \( e^{-x} \sin2x,\) nous déterminons \(\alpha\) et\(\beta.\) D'où

\(I_1'(x) = - e^{-x}(\alpha \sin 2x + \beta \cos 2x) + e^{-x} (2\alpha \cos 2x - 2\beta\sin 2x)\)

\(I_1'(x) = \color{blue}e^{-x} [-(\alpha + 2\beta) \sin 2x + ( - \beta + 2\alpha ) \cos 2x ]\)

Par identification à \(I_1'(x) = \color{blue}e^{-x} \sin 2x\) :

\(\begin{array}{l l}-(\alpha+2\beta)=1&\color{blue}\alpha=-\frac{1}{5}\\-\beta+2\alpha=0&\color{blue}\beta=-\frac{2}{5}\end{array}\)

d'où \(I_1= e^{-x}(-\frac{1}{5}\sin2x-\frac{2}{5}\cos2x)+C,\) et

\(\color{red}J\color{black}=\int_0^{\pi/4} e^{-x}\sin2xdx=-\frac{1}{5}[ e^{-x}\sin 2x+2\cos2x]_0^{\pi/4}\\=-\frac{1}{5}[e^{-\pi/4}(\sin\frac{\pi}{2}+2\cos\frac{\pi}{2})-e^0(0+2)]\\=-\frac{1}{5}[ e^{-\pi/4}-2]\\=\color{red}\frac{2- e^{-\pi/4}}{5}\)