Intégration par parties [L'intégrale simple]

Intégration par parties

Cas des primitives

La méthode d'intégration par parties est basée sur la formule de la différentielle du produit de deux fonctions d'une variable $u = u(x)$ et $v = v(x)$ :

$\color{red}d (u v) = u dv + v du$

On suppose que : $f(x) dx = u(x) dv(x)$ où $u(x)$ et $v(x)$ sont des fonctions continues de $x$ avec

$dv(x)=v'(x)dx\\du(x)=u'(x)dx$ alors :

$\int f(x)dx=\int u(x)dv(x)=\int d(u(x)v(x)) - \int v(x)du(x)$

ou $\int udv=\int d(uv)-\int vdu$

et $\color{red}\int udv=uv-\int vdu$

Cette méthode est employée quand le calcul de $\int vdu$ est plus simple que celui de $\int udv$

Exemple : Primitivation par parties

Calculer $I = \int x\sinh xdx$

on pose $u = x,$ $dv = \sinh x dx$

alors $du = dx,$ $v = \cosh x,$

d'où : $\color{red}I\color{black}=\int x\sinh xdx=x\cosh x-\int\cosh xdx=\color{red}x\cosh x-\sinh x+C$

Cas des intégrales

Si $u(x)$ et $v(x)$ possèdent des dérivées continues sur l'intervalle $[ a, b]$ alors l'intégration de la fonction $f(x) dx = u(x) dv(x)$ sur $[ a, b]$ conduit à :

$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bu(x)dv(x)=\int_a^bd(u(x)v(x))-\int_a^bv(x)du(x)$

d'où $\color{red}\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu$

Exemple : Intégration par parties cas des intégrales

Calculer $I=\int_1^ex^2\ln xdx$

on pose $u = \ln x ,$ $dv = x^ 2 dx$

alors $du = dx / x ,$ $v = x^3 / 3,$

d'où : $\color{red}I\color{black}=\int_1^ex^2\ln xdx=[\frac{x^3}{3}\ln x]_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{3}dx=[\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}]_1^e=\color{red}\frac{1}{9}(2e^3+1)$

Application de l'intégration par parties

Forme $\int P_n(x)e^{kx}dx$ $(P_n(x)$ : polynôme de degré $n)$

1ère méthode

Appliquer plusieurs fois la méthode d'intégration par parties en prenant $P_n(x)$ pour $u(x)$ afin d'abaisser le degré de $P_n(x)$

Démonstration : Méthode de la double intégration

On considère la forme $I=\int P_n(x)e^{kx}dx$ où $P_n(x)$ est un polynôme de degré $n.$

Posons

$\begin{array}{l l}u(x)=P_n(x)&dv=e^{kx}dx\\du=P_n'(x)dx=Q_{n-1}(x)dx&v=\frac{1}{k}e^{kx}\end{array}$

d'où

$\boxed{I=\int P_n(x)e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}P_n(x)-\frac{1}{k}\int Q_{n-1}(x)e^{kx}dx}$

L'intégration par parties se poursuit jusqu'à l'obtention d'une primitive de la forme $\int\alpha e^{kx}$ avec $\alpha = cste.$

Exemple :

Intégration de $P_n(x)e^{kx}dx~~(1)$

Calculer $I=\int x^2e^xdx$

Intégration par parties en posant :

$\begin{array}{l l}u=x^2&dv=e^xdx\\du=2xdx&v=e^x\end{array}$ , d'où :

$I=\int x^2e^xdx=x^2e^x-2\color{blue}\underbrace{\int xe^xdx}_{I_1}$

Calculons $I_1=\int xe^xdx$ par parties en posant

$\begin{array}{l l}u=x&dv=e^xdx\\du=dx&v=e^x\end{array}$ , d'où :

$\color{blue}I_1\color{black}=\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=\color{blue}xe^x-e^x+C$

et $\color{red}I\color{black}= x^2 e^x - 2( x e^x - e^x) + C =\color{red} (x^2 - 2x + 2) e^x + C$

2ème méthode

La primitive de la fonction $P_n(x) e^{kx}$ est de la forme $Q_n(x) e^{kx},$ où $Q_n(x)$ est un polynôme de même degré que $P_n(x).$ Après dérivation de la forme primitive $Q_n(x) e^{kx}$ et identification à $P_n(x) e^{kx},$ on détermine les coefficients de $Q_n(x).$

Démonstration : Méthode d'identification

On considère la forme $I=\int P_n(x)e^{kx}dx$ où $P_n(x)$ est un polynôme de degré $n.$

Cherchons une primitive sous la forme : $\color{blue}I = Q_n (x) e ^{kx} + C$

d'où par dérivation : $\color{blue}I'(x)\color{black} = Q_n'(x) e^{ kx} + k Q_n(x) e^{kx} = \color{blue}[Q_n'(x) + k Q_n(x)] e^{ kx}$

L'identification conduit à :

$I'(x) = P_n(x) e^{kx} = [Q_n'(x) + k Q_n(x)] e^{ kx} \Leftrightarrow \color{red}P_n(x) = Q_n'(x) + k Q_n(x)$

permet de déterminer les coefficients relatifs aux puissances de $x$ du polynôme $Q_n(x).$

Exemple :

Intégration de $P_n(x)e^{kx}dx~~(2)$

Calculer $I=\int x^2e^xdx$

Cherchons la primitive $F(x)$ sous la forme :

$I(x) = (a x^2 + b x + c) e^x + C$

d'où par dérivation :

$I'(x) = (2ax + b) e^x + (ax^2 + bx + c) e^x= [ ax^2 + (2a + b) x + b + c ] e^x$

Par identification de $I'(x) = x^2 e^x,$ nous avons :

$\color{blue}a = 1$

$2a + b = 0 \Rightarrow\color{blue} b = -2a = -2$

$b + c = 0$ et $\color{blue}c = - b = 2$

d'où $\color{red}I(x) = (x^2 - 2x + 2) e^x + C$

Forme $\int P_n(x)\sin\omega xdx$ ou $\int Q_n(x)\cos\omega xdx$

1ère méthode

Appliquer plusieurs fois la méthode d'intégration par parties en prenant $P_n(x)$ ou $Q_n(x)$ pour $u(x)$ afin d'abaisser le degré de $P_n(x)$ ou $Q_n(x).$

Démonstration : Méthode de la double intégration

On considère la forme $I=\int P_n(x)\sin\omega xdx$ où $P_n(x)$ est un polynôme de degré $n.$

Posons

$\begin{array}{l l}u=P_n(x)&dv=\sin\omega xdx\\du=P_n'(x)dx=Q_{n-1}(x)dx&v=-\frac{1}{\omega}\cos\omega x\end{array}$

d'où :

$I=\int P_n(x)\sin\omega xdx\\=-\frac{1}{\omega}P_n(x)\cos\omega x+\frac{1}{\omega}\int\color{blue}\underbrace{Q_{n-1}(x)}_{\textrm{Polynôme de degré (n-1)}} \color{black}\cos\omega xdx$

L'intégration par parties se poursuit pour abaisser le degré du polynôme $Q_{n-1}(x).$

Exemple :

Intégration de $\int P_n(x)\sin\omega xdx$ ou $\int Q_n(x)\cos\omega xdx~~(1)$

Calculer $I=\int(3x-1)\cos 2xdx$

Posons $\begin{array}{l l}u=3x-1&dv=\cos 2xdx\\du=3dx&v=\frac{1}{2}\sin 2x\end{array}$

d'où $I=\int(3x-1)\cos 2xdx\\=\frac{1}{2}(3x-1)\sin 2x-\int\frac{3}{2}\sin 2xdx\\\color{red}I=\frac{1}{2}(3x-1)\sin 2x+\frac{3}{4}\cos 2x+C$

2ème méthode

Par identification en cherchant une primitive sous la forme générale :

$\color{red}I = R_n(x) \sin \omega x + S_n(x) \cos \omega x$ où $\color{blue}R_n(x)$ et $\color{blue}S_n(x)$ sont des polynômes de degré $n.$

Après dérivation de la forme primitive et identification à $P_n(x)\sin\omega x$ ou à $Q_n(x) \cos\omega x,$ on détermine les coefficients de $P_n(x)$ et $Q_n(x).$

Démonstration : Méthode d'identification

On considère la forme $I=\int P_n(x)\sin\omega xdx$ où $P_n(x)$ est un polynôme de degré $n.$

Cherchons une primitive sous la forme générale :

$\color{blue}I = R_n(x) \sin \omega x + S_n(x) \cos\omega x$

Par dérivation nous obtenons :

$I'(x) = R_n'(x)\sin\omega x + \omega R_n(x) \cos \omega x + S_n'(x) \cos \omega x - \omega S_n(x) \sin \omega x$

$I'(x) = \color{blue}(R_n'(x) - \omega S_n(x)) \sin \omega x + (S_n'(x) + \omega R_n (x)) \cos \omega x$

L'identification $I'(x) = \color{blue}P_n(x) \sin \omega x$ conduit au système :

$\begin{cases}R_n'(x)-\omega S_n(x)=P_n(x)\\S_n'(x)+\omega R_n(x)=0\end{cases}$

qui permettra de déterminer les polynômes $\color{red}R_n(x)$ et $\color{red}S_n(x).$

Exemple :

Intégration de $\int P_n(x)\sin\omega xdx$ ou $\int Q_n(x)\cos\omega xdx~~(2)$

Calculons $I=\int(3x-1)\cos 2xdx$

Cherchons la primitive sous la forme :

$I = (ax + b) \cos 2x + (cx + d) \sin 2x + C$

par dérivation :

$I'(x) = a \cos 2x - 2 (ax + b) \sin 2x + c \sin 2x + 2 (cx + d) \cos 2x$

$= ( 2cx + a + 2d) \cos 2x - ( 2ax + 2b - c) \sin 2x$

et identification à $(3x - 1) \cos 2x$ :

$\begin{array}{r l}2c=3&\color{blue} c=3 /2\\a+2d=-1&\color{blue} d=-1/2\\2a=0&\color{blue}a=0\\-2b+c=0&\color{blue} b=3/4\end{array}$

d'où $\color{red}I=\frac{3}{4}\cos 2x+(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2})\sin 2x+C$

Forme $\int e^{kx}\cos \omega xdx$ ou $\int e^{kx}\sin\omega xdx$

1ère méthode

Intégrer deux fois pour retrouver l'intégrale de départ.

Démonstration : Méthode de la double intégration

On considère la forme $I=\int e^{kx}\cos\omega xdx$

Posons :

$\begin{array}{l l }u=e^{kx}&dv=\cos\omega xdx\\du=ke^{kx}dx&v=\frac{1}{\omega}\sin\omega x\end{array}$

d'où :

$I=\int e^{kx}\cos\omega xdx=\frac{e^{kx}}{ \omega}\sin\omega x-\frac{k}{\omega}\color{blue}\underbrace{\int e^{kx}\sin\omega xdx}_{I_1}$

Calculons $I_1=\int e^{kx}\sin \omega xdx$ par intégration par parties

Posons :

$\begin{array}{l l}u=e^{kx}&dv=\sin\omega xdx\\du=ke^{kx}dx&v=-\frac{1}{\omega}\cos \omega x\end{array}$

d'où :

$I_1=-\frac{e^{kx}}{\omega}\cos\omega x+\frac{k}{\omega}\int e^{kx}\cos\omega xdx=-\frac{e^{kx}}{\omega}\cos\omega x+\frac{k}{\omega}I$

$I=\frac{e^{kx}}{\omega}\sin \omega x-\frac{k}{\omega}[-\frac{e^{kx}}{\omega}\cos\omega x+\frac{k}{\omega}I]\\$

$I+\frac{k^2}{\omega^2}I=I\frac{\omega^2+k^2}{\omega^2}=\frac{e^{kx}}{\omega^2}(\omega\sin\omega x+k\cos\omega x)$

$\color{red}I=\frac{e^{kx}}{k^2+\omega^2}(\omega\sin\omega x+k\cos\omega x) + C$

Exemple :

Intégration de $\int e^{kx}\cos\omega xdx$ ou $\int e^{kx}\sin\omega xdx~~(1)$

Calcul de l'intégrale $\color{red}I\color{black}=\int_0^{\pi/4}e^{-x}\sin 2xdx$

1ère intégration par parties :

Posons $\begin{array}{l l}u=e^{-x}&dv=\sin2xdx\\du=-e^{-x}dx&v=-\frac{1}{2}\cos2x\end{array}$ ,

d'où : $I=\int_0^{\pi/4}e^{-x}\sin2xdx=[\frac{1}{2}e^{-x}\cos2x]_0^{\pi/4}-\frac{1}{2}\color{blue}\underbrace{\int_0^{\pi/4}e^{-x}\cos2xdx}_{I_1}$

2ème intégration par parties :

Calcul de $\color{blue}I_1\color{black}=\int_0^{\pi/4}e^{-x}\cos2xdx$

Posons $\begin{array}{l l}u=e^{-x}&dv=\cos2xdx\\du=-e^{-x}dx&v=\frac{1}{2}\sin2x\end{array}$ , d'où

$\color{blue}I_1\color{black}=[\frac{1}{2}e^{-x}\sin2x]_0^{\pi/4}+\frac{1}{2}\color{red}\underbrace{\int_0^{\pi/4}e^{-x}\sin2xdx}_I$

donc $\color{red}I\color{black}=[-\frac{1}{2}e^{-x}\cos2x]_0^{\pi/4}-\frac{1}{2}\{[\frac{1}{2}e^{-x}\sin2x]_0^{\pi/4}+\frac{1}{2}\color{red}I\color{black}\}$

$\color{red}I\color{black}+\frac{1}{4}\color{red}I\color{black}=\frac{5\color{red}I}{4}=-\frac{1}{2}[e^{-x}(\cos2x+\frac{\sin 2x}{2})]_0^{\pi/4}$

$\color{red}I\color{black}=-\frac{2}{5}[e^{-\pi/4}(\cos\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2})-e^0]=-\frac{2}{5}[\frac{e^{-\pi/4}}{2}-1]\\=\color{red}\frac{2-e^{-\pi/4}}{5}$

2ème méthode

Par identification, en cherchant une primitive

sous la forme générale $\color{blue}I = e^{kx} ( \alpha \cos \omega x + \beta \sin \omega x) + C.$

Après dérivation de la forme primitive et identification à $e^{kx}\cos\omega x$ ou à $e^{kx}\sin \omega x,$ on détermine les coefficients $\alpha$ et $\beta.$

Démonstration : Méthode d'identification Exemple

On considère la forme $I=\int e^{kx}\cos\omega xdx$

Cherchons une primitive sous la forme générale :

$\color{blue}I = e^{kx} ( \alpha \cos \omega x + \beta \sin \omega x ) + C$

Par dérivation nous obtenons :

$I'(x) = k e^{kx} ( \alpha \cos \omega x + \beta \sin \omega x) + e^{kx} ( -\alpha\omega \sin \omega x + \beta\omega \cos \omega x)$

$I'(x) =\color{blue} e^{kx} [ (k\alpha + \omega\beta ) \cos \omega x + ( k\beta -\alpha\omega ) \sin \omega x ) ]$

L'identification $I'(x) =\color{blue} e^{kx} \cos \omega x$ conduit au système :

$\begin{array}{l l}k\alpha+\omega\beta=1&\alpha=\frac{k}{k^2+\omega^2}\\k\beta-\alpha\omega=0&\beta=\frac{\omega}{k^2+\omega^2}\end{array}$

$\color{red}I=\frac{ e^{kx}}{k^2+\omega^2}(\omega\sin\omega x+k\cos\omega x)+C$

Exemple :

Intégration de $\int e^{kx}\cos\omega xdx$ ou $\int e^{kx}\sin\omega xdx~~(2)$

Calcul de l'intégrale $J=\int_0^{\pi/4} e^{-x}\sin2xdx$

Posons $\color{blue}I_1 = e^{-x} ( a \sin 2x + \beta \sin 2x) + C$ la forme d'une primitive de $I=\int e^{-x}\sin2xdx$

Par dérivation de $I_1(x)$ et en identifiant $I_1'(x)$ à $e^{-x} \sin2x,$ nous déterminons $\alpha$ et $\beta.$ D'où

$I_1'(x) = - e^{-x}(\alpha \sin 2x + \beta \cos 2x) + e^{-x} (2\alpha \cos 2x - 2\beta\sin 2x)$

$I_1'(x) = \color{blue}e^{-x} [-(\alpha + 2\beta) \sin 2x + ( - \beta + 2\alpha ) \cos 2x ]$

Par identification à $I_1'(x) = \color{blue}e^{-x} \sin 2x$ :

$\begin{array}{l l}-(\alpha+2\beta)=1&\color{blue}\alpha=-\frac{1}{5}\\-\beta+2\alpha=0&\color{blue}\beta=-\frac{2}{5}\end{array}$

d'où $I_1= e^{-x}(-\frac{1}{5}\sin2x-\frac{2}{5}\cos2x)+C,$ et

$\color{red}J\color{black}=\int_0^{\pi/4} e^{-x}\sin2xdx=-\frac{1}{5}[ e^{-x}\sin 2x+2\cos2x]_0^{\pi/4}\\=-\frac{1}{5}[e^{-\pi/4}(\sin\frac{\pi}{2}+2\cos\frac{\pi}{2})-e^0(0+2)]\\=-\frac{1}{5}[ e^{-\pi/4}-2]\\=\color{red}\frac{2- e^{-\pi/4}}{5}$