Intégration des fonctions hyperboliques
Primitivation des fonctions polynômes en \(\sinh x,\) \(\cosh x.\)
Forme :\( I = \int P(\sinh x, \cosh x) dx = \int \sinh ^px \sinh^ q x dx~~ (p, q \in\mathbb N)\)
On utilise les mêmes règles de calcul que pour \(P (\sin x, \cos x),\) sachant que : \(\color{red}\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)
On peut utiliser le changement de variable \(u = e^ x\)
Exemple :
\(\boxed{I_{12} = \int \cosh^3xdx}\)
\(I_{12}=\int\cosh^2x\cosh xdx\)
\(= \int (1 + \sinh ^2 x) \cosh x dx\)
Posons \(\color{blue}u = \sinh x \color{black}\Leftrightarrow\color{blue} du = \cosh x dx\)
\(I_{12}=\int(1+u^2)du=u+\frac{u ^3}3+C\)
\(\color{red}I_{12}=\sinh x+\frac12\sinh^3x+C\)
Exemple :
\(\boxed{I_{13}=\int\cosh^3xdx}\)
Posons \(\color{blue}u = e ^x \color{black}\Leftrightarrow\color{blue} du = e^x dx = u dx\)
d'où
\(I_{13}=\int(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^3dx\)
\(=\frac18\int(e^{3x}+e^{-3x}+3e^x+3e^{-x})dx\)
\(=\frac18[\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{3}+3e^x-3e^{-x}] + C\)
\(=\frac14[\frac13\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{2}+3\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}]+C\)
\(\color{red}I_{13}=\frac14(\frac13\sinh3x+3\sinh x)+C\)
Primitivation des fractions rationnelles en \(\sinh x,\) \(\cosh x\)
Forme : \(I = \int F(\sinh x, \cosh x) dx.\)
Comme pour les fractions trigonométriques, par un changement de variable, on se ramène à une fraction rationnelle en \(t.\)
Méthode générale
Poser \(t=\tanh\frac{x}{2}\Leftrightarrow\color{red}x=2\textrm{argtanh} tdx=\frac{2dt}{1-t^2}\)
sachant que\(\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\);\(\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\);\(\tanh x=\frac{2t}{1+t^2}\)
Nous obtenons \(\color{red}I=\int F(\frac{2t}{1-t^2},\frac{1+t^2}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}dt\)qui est une fraction rationnelle en \(t.\)
Exemple :
\(\boxed{I_{14}=\int\frac{dx}{\cosh x}}\)
Posons \(\color{blue}t = \tanh (x / 2)\color{black} \Leftrightarrow x = 2 \textrm{argtanh } t\) et
\(\color{blue}dx = 2dt / (1 - t^2)\)
Sachant que \(\cosh x = (1 + t^2) / (1 - t^2),\) nous obtenons :
\(I_{14}=\int\frac{2dt}{(1-t^2)\frac{1+t^2}{1-t^2}}=2\int\frac{dt}{1+t^2}=2\arctan t + C\)
\(\color{red}I_{14}=2\arctan(\tanh \frac{x}{2})+C\)
Méthode particulière
On utilise "le principe des règles de Bioche" rencontrés pour les fractions rationnelles trigonométriques. Pour calculer \(\color{blue}\int F(\sinh x, \cosh x) dx\) on "lit" \(\color{blue}\int F(\sin x, \cos x) dx\) et on applique à l'élément différentiel \(\omega(x) = F( \sin x, \cos x) dx\) les règles suivantes :
si \(\color{red}\omega(-x) = \omega(x)\) alors \(\int F(\sinh x, \cosh x) dx\) se calcule par le changement de variable \(\color{red}t = \cosh x\)
si \(\color{red}\omega(\pi- x) = \omega(x)\) alors \(\int F(\sinh x, \cosh x) dx\) se calcule par le changement de variable \(\color{red}t = \sinh x\)
si \(\color{red}\omega(\pi + x) = \omega(x)\) alors \(\int F(\sinh x, \cosh x) dx\) se calcule par le changement de variable \(\color{red}t = \tanh x\)
Exemple :
\(\boxed{I_{15}=\int\frac{\cosh^3x}{\sinh x}dx}\)
Posons \(\omega(x)=\frac{\cos^3x}{\sin x}dx\)pour appliquer les règles de Bioche
Sachant que
\(\omega(-x)=\frac{\cos^3(-x)}{\sin(-x)}d(-x)=-\frac{\cos^3x}{\sin x}d(-x)=\omega(x)\)
Effectuons dans \(I_{15}\) le changement de variable
\(\color{blue}u = \cosh x\) d'où \(\color{blue}du = \sinh x dx\) alors :
\(I_{15}=\int\frac{u^3}{u^2-1}du=\int\frac{u(u^2-1+1)}{u^2-1}du\)
\(=\int u du+\int\frac u{u^2-1}du\)
\(=\frac{u^2}2+\frac12\ln|u^2-1|+C\)
\(=\frac{\cosh^2x}2+\frac12\ln|\cosh^2x-1|+C\)
\(\color{red}I_{15}=\frac{\cosh^2x}2+\ln|\sinh x|+C\)
Intégration des fonctions rationnelles hyperboliques
Comme pour les méthodes d'intégration des fonctions trigonométriques un changement de variable nécessitera une modification des bornes d'intégration
Exemple :
\(\boxed{I_{16}=\int_0^{\frac14\ln3}\frac{dx}{\cosh^2x+\sinh^2x}}\)
Sachant que \(\cosh^2x + \sinh^2x=\cosh2x=\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\)
Posons \(t = e ^{2x} \Leftrightarrow 2x = \ln t\) soit \(\color{blue}x = (\ln t) / 2\)
et \(\color{blue}dx = dt / (2 t)\)
Les bornes d'intégration deviennent :
\(\begin{array}{l l}x_1=0&\color{blue}t_1=e^0=\color{blue}1\\x_2=\frac14\ln3&\color{blue}t_2=e^{\frac12\ln3}=\color{blue}\sqrt3\end{array}\)
d'où
\(\color{red}I_{16}\color{black}=\int_1^{\sqrt 3}\frac{dt}{2t(\frac t2+\frac 1{2t})}=\int_1^{\sqrt3}\frac{dt}{t^2+1}\\=[\arctan t]_1^{\sqrt 3}=\arctan \sqrt 3-\arctan 1\\=\frac{\pi}3-\frac{\pi}4=\color{red}\frac{\pi}{12}\)