Intégration des fonctions comprenant des radicaux

Forme \(I_1=\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\)

  • si \(a = 0\) : poser \(t = bx + c\)

  • si \(a \neq 0\) : Mettre le trinôme sous forme canonique :

    \(ax^2+bx+c=a[(x+\frac b{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}]\) avec \(\Delta = b^2-4ac\)

    • 1er cas : \(\color{blue}a > 0\) , \(\color{blue}D < 0\) , poser \(t=\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta}}\)

      \(I_1=\frac1{\sqrt {a}}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\color{red}\frac1{\sqrt{a}}\ln(t+\sqrt{t^2+1})+C\)

    • 2ème cas : \(\color{blue}a > 0\) , \(\color{blue}D > 0\) , poser \(t=\frac{2ax+b}{\sqrt{\Delta}}\)

      \(I_1=\frac1{\sqrt {a}}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}=\color{red}\frac1{\sqrt{a}}\ln|t+\sqrt{t^2-1}|+C\) avec \(|t|>1\)

    • 3ème cas \(\color{blue}a < 0\) , \(\color{blue}D > 0\) , poser \(t=-\frac{2ax+b}{\sqrt{\Delta}}\)

      \(I_1=\frac1{\sqrt {-a}}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\color{red}\frac1{\sqrt{-a}}\arcsin t+C\) avec \(|t|<1\)

Exemple

\(\boxed{I_{17} = \int\frac{dx}{\sqrt{3x+2}}}\)

Posons \(t=3x+2\Leftrightarrow\color{blue}dt=3dx\)

et \(\color{red}I_{1}\color{black}=\int\frac{dt}{3\sqrt t}=\frac23\sqrt t +C =\color{red}\frac23\sqrt{3x+2}+C\)

Exemple

\(\boxed{I_{18} = \int\frac{dx}{\sqrt{4x^2-3x+5}}}\)

Forme canonique du trinôme :

\(4x^2-3x+5=4(x^2-\frac34x+\frac54)=4[(x-\frac38)^2+(\frac{\sqrt{71}}8)^2]\)

en posant \(t=\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta}}=\frac{8x-3}{\sqrt{71}}\) nous trouvons :

\(I_{18}=\frac12\ln(\frac{8x-3}{\sqrt{71}}+\sqrt{(\frac{8x-3}{\sqrt{71}})^2+1})+K\)

\(\color{red}I_{18}=\frac12\ln(8x-3+4\sqrt{4x^2-3x+5})+C\)

Exemple

\(\boxed{I_{19} = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4x}}}\)

Forme canonique du trinôme :

\(x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 2^2\)

en posant \(t=\frac{2ax+b}{\sqrt{\Delta}}=\frac{2x-4}{4}\)nous trouvons :

\(I_3=\ln|\frac{2x-4}4+\sqrt{(\frac{2x-4}{4})^2+1}|+K\)

\(\color{red}I_{3}=\ln(|x-2+\sqrt{x^2-4x}| )+C\)

Exemple

\(\boxed{I_{20} = \int\frac{dx}{\sqrt{5+2x-4x^2}}}\)

Forme canonique du trinôme :

\(-4x^2+2x+5=-4(x^2-\frac x2-\frac54)\\=-4[(x-\frac14)^2-(\frac{\sqrt{21}}4)^2]\\=4[(\frac{\sqrt{21}}{4})^2-(x-\frac14)^2]\)

en posant \(t=-\frac{2ax+b}{\sqrt{\Delta}}=\frac{4x-1}{\sqrt{21}}\)nous trouvons :

\(\color{red}I_{4}=\frac12\arcsin\frac{4x-1}{\sqrt{21}}+C\)

Forme \(I_2=\int \frac{\alpha x+ \beta} {\sqrt {ax^2+bx+c}}dx\)

si \(\color{red}a = 0\) : nous retrouvons \(\color{red}\beta I_1\)

si \(\color{red}a \neq 0\) : Faire apparaître au numérateur la différentielle \((2 ax + b) dx\) du trinôme :

\(\alpha x + \beta=\frac{\alpha}{2a}(2ax+b)+\beta-\frac{b\alpha}{2a}=\lambda(2ax+b)+\mu~~(\lambda~\textrm{et}~\mu~~\textrm{cstes})\)

alors \(I_2=\lambda\int\frac{dt}{\sqrt{t}}+\mu\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}=\color{red}2\lambda\sqrt t+\mu I_1+C\)

Exemple

\(\boxed{I_{21}=\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2-4x+13}}dx}\)

Après transformation du numérateur en :

\(x + 1 = (2x - 4) / 2 + 3\)

nous avons :

\(I_{21}=\frac12\int\frac{(2x-4)dx}{\sqrt{x^2-4x+13}}+3\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4x+13}}\)

d'où \(\color{red}I_5=\sqrt{x^2-4x+13}+3\ln(x-2+\sqrt{x^2-4x+13})+C\)

ou \(\color{red}=\sqrt{x^2-4x+13}+3\text{ argsinh}\frac {x-2}{3}\)

Forme \(I_3=\int\frac{dx}{(\alpha x+\beta)\sqrt{ax^2+bx+c}}\)

si \(\color{red}a = 0\) : nous retrouvons \(\color{red}I_1/ \beta\)

si \(\color{red}a \neq 0\) : Poser \(t=\frac1{\alpha x+\beta}\) d'où \(x=\frac{1-\beta t}{\alpha t},\) \(\frac{dx}{\alpha x+\beta}=-\frac 1{\alpha}\frac{dt}t\)

ce changement conduit à la forme de

\(I_1=\color{red}\frac{dt}{\sqrt{At^2+Bt+C}}\)

Exemple

\(\boxed{I_{22}=\int_0^1\frac{dx}{(4x+1)\sqrt{x^2+4x+1}}}\)

Posons \(t=\frac1{\alpha x+\beta}=\frac1{4x+1}\Leftrightarrow x=\frac{1-t}{4t}~\text{et}~\frac{dt}{t}=\frac{-4dx}{4x+1}\)

Après ce changement de variable, nous obtenons :

\(I_6=-\int_1^{1/5} \frac{dt}{\sqrt{t^2+14t+1}}\)

qui en posant \(u=\frac{t+7}{\sqrt{48}}\)devient

\(\color{red}I_6\color{black}=-\frac{1}{\sqrt{48}}\int\frac{du}{\sqrt{u^2-1}}\\=-[\ln|t+7+\sqrt{t^2+14t+1}|]_1^{1/5}\\=\color{red}\ln\frac{15}{9+\sqrt6}\)

Forme \(I_4=\int\sqrt{ax^2+bx+c}dx\)

  • si \(\color{red}a = 0\) : Poser \(t = bx + c\) et \(I_4=\frac1b\int\sqrt tdt=\color{red}\frac2{3b}t^{3/2}+C\)

  • si \(\color{red}a \neq 0\) : Mettre le trinôme sous la forme canonique :

    \(ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}]\) avec \(\Delta=b^2-4ac\)

    • 1er cas : \(\color{blue}a > 0\) , \(\color{blue}D < 0\) , poser \((x+\frac b{2a})=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\sinh t\)

      pour se ramener à la forme \(\int \cosh^2t dt\) qui s'intègre après linéarisation \((\cosh^2t=\frac{\cosh2t+1}2).\)

      Après calcul nous trouvons :

      \(I_4=\int\sqrt{ax^2+bx+c}dx\\=\color{red}\frac12(x+\frac{b}{2a})\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{\Delta}{8a\sqrt a}\ln(ax+\frac b2+\sqrt a\sqrt{ax^2+bx+c})+C\)

    • 2ème cas : \(\color{blue}a > 0\) , \(\color{blue}D > 0\) , le trinôme admet deux racines réelles, \(x'\) et \(x''\) avec \(x' < x".\)

      pour \(x < x',\) poser\((x+\frac{b}{2a})=-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\cosh t\)

      pour \(x > x",\) poser\((x+\frac{b}{2a})=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\cosh t\)

      on se ramène à la forme \(\int \sinh^2tdt\) qui s'intègre après linéarisation \((\sinh^2t=\frac{\cosh2t-1}2).\)

      D'où le résultat

      \(I_4=\int\sqrt{ax^2+bx+c}dx\\=\color{red}\frac12(x+\frac{b}{2a})\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{\Delta}{8a\sqrt a}\ln|ax+\frac b2+\sqrt a\sqrt{ax^2+bx+c}|+C\)

    • 3ème cas \(\color{blue}a < 0\) , \(\color{blue}D > 0\) , poser \((x+\frac{b}{2a})=-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\sin t\)

      pour se ramener à la forme \(\int \cos^2t dt\) qui s'intègre après linéarisation \((\cos^2t=\frac{1+\cos2t}2) .\)

      Finalement :

      \(I_4=\int\sqrt{ax^2+bx+c}dx\\=\color{red}\frac12(x+\frac{b}{2a})\sqrt{ax^2+bx+c}-\frac{\Delta}{8a\sqrt{-a}}\arcsin(-\frac{2ax+b}{\sqrt{\Delta}})+C\)\(\)

Exemple

\(\boxed{I_{23}=\int\sqrt{5x+3}dx}\)

Posons \(t = 5x + 3\) d'où \(\color{blue}dt = 5 dx\)

et \(\color{red}I_7\color{black}=\frac15\int\sqrt tdt=\color{red}\frac2{15}(5x+3)^{3/2}+C\)

Exemple

\(\boxed{I_{24}=\int\sqrt{x^2+2x+5}dx}\)

\(\color{blue}a\color{black} = 1 \color{blue}> 0\color{black} ,~~ \color{blue}D\color{black} = 4 - 20 = -16 \color{blue}< 0\)

posons : \((x+1)=\frac{\sqrt{16}}{2}\sinh t=2\sinh t\)

Forme canonique : \(x^2 + 2x + 5 = x^2 + 2x + 1 + 4 =(x + 1)^2 + 2^2\)

d'où

\(\color{red}I_8=\frac12(x+1)\sqrt{x^2+2x+5}+2\ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+5})+C\)

Exemple

\(\boxed{I_{25}=\int\sqrt{x^2-9}dx}\)

\(\color{blue}a \color{black}= 1 \color{blue}> 0\color{black} , \color{blue}D\color{black} = 36 \color{blue}> 0\)

posons : \(x = \pm 3 \cosh t\)

d'où \(\color{red}I_9=\frac x2\sqrt{x^2-9}-\frac92\ln|x+\sqrt{x^2-9}|+C\)

Exemple

\(\boxed{I_{26}=\int\sqrt{5+2x-4x^2}dx}\)

\(\color{blue}a\color{black} = - 4 \color{blue}< 0\color{black} , \color{blue}D\color{black} = 84 \color{blue}> 0\)

posons : \((x-\frac14)=\frac{-\sqrt{84}}{-8}\sin t=\frac{\sqrt{21}}{4}\sin t\)

Forme canonique :

\(-4x^2+2x+5=-4(x^2-\frac x2-\frac54)=4[(\frac{\sqrt{21}}{4})^2-(x-\frac14)^2]\)

d'où

\(\color{red}I_{10}=\frac{4x-1}{8}\sqrt{5+2x-4x^2}+\frac{21}{16}\arcsin\frac{4x-1}{\sqrt{21}}+C\)

Forme \(I_5=\int F(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx\)\(F\) est une fraction rationnelle

La forme \(\int F(x, \sqrt{ax+b})dt\)appartient à cette catégorie.

Poser \(t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}\Leftrightarrow x=\frac{b-dt^2}{ct^2-a}\) et \(dx=2\frac{ad-bc}{(ct^2-a)^2}tdt\)l'intégrale devient celle d'une fraction rationnelle en \(t\) :

\(\int F_1(\frac{b-dt^2}{ct^2-a}, t)2\frac{ad-bc}{ct^2-a}^2tdt\)

Exemple

\(\boxed{I_{27}=\int_0^3\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}dx}\)

posons : \(t=\sqrt{1+x}\Leftrightarrow dt=\frac1{2\sqrt{1+x}}dx=\frac{dx}{2t}\)

d'où

\(\color{red}I_{11}\color{black}=\int_1^2\frac{(t^2-1)^2}{t}2tdt=2\int_1^2(t^4-2t^2+1)dt\\=2[\frac{t^5}{5}-\frac23t^3+t]_1^2=\color{red}\frac{76}{15}\)

Forme \(I_6=\int F(x, \sqrt{ax^2+bx+c})dx\)\(F\) est une fraction rationnelle

  • si \(\color{red}a = 0\) : on obtient la forme \(\color{red}I_5\)

  • si \(\color{red}a \neq 0\) : mettre le trinôme sous la forme canonique

    \(ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}]=a[t^2-k]\)

    on obtient \(\int F_1(t, \sqrt{a(t^2-k)})dt\)\(F_1\) est une fraction rationnelle en \(t\) :

    • 1er cas : \(a > 0\) , \(k > 0\) , poser \(t=\sqrt t\cosh u\)

    • 2ème cas : \(a > 0\) , \(k < 0\) , poser \(t=\sqrt{-k}\sinh u\)

    • 3ème cas : \(a < 0\) , \(k > 0\) , poser \(t=\sqrt k \sin u\)

    \(I_6=\int F(x, \sqrt{ax^2+bx+c})dx\)

Exemple

\(\boxed{I_{28}=\int_{-1}^{\frac{\sqrt2}{2} - 1}\frac{dx}{1+x+3\sqrt{-x^2-2x}}}\)

or \(- x^2 - 2x = - [ (x + 1)^2 - 1]\)

posons : \(t = x + 1 \Leftrightarrow \color{blue}dt = dx\)

d'où \(I_{12}=\int_0^{\sqrt2/2}=\frac{dt}{t+3\sqrt{1-t^2}}\)

un nouveau changement de variable : \(t = \sin u \Leftrightarrow u = \arcsin t\) conduit à l'intégrale :

\(I_{12}=\int_0^{\pi/4}\frac{\cos u}{\sin u + 3\cos u}du=\int_0^{\pi/4}\frac{du}{\tan u + 3}\)

or si \(v = \tan u\) alors \(dv = (1 + \tan^2u) du = (1 + v^2) du\) et

\(\color{red}I_{12}\color{black}=\int_0^1\frac{dv}{(1+v^2)(v+3)}=\frac{1}{10}\int_0^1(\frac{-v+3}{1+v^2}+\frac1{3+v})dv\\=\frac1{10}[-\frac12\ln(1+v^2)+3\arctan v+\ln(3+v)]_0^1\\=\color{red}\frac{1}{10}(\ln\frac{4}{3\sqrt2}+\frac{3\pi}{4})\)